My presentation is set within the framework of inverse problems. The main objective is to determine initial conditions, the state, or parameters of a system from available observations, with a particular focus on biological applications. We concentrate on sequential methods in data assimilation, where observations are incorporated as they become available. In this context, I present two examples: the reconstruction of a source term in a wave equation, and the determination of both state and parameters in a PDE system modeling tumor growth. For the first problem, we define a Kalman estimator in infinite dimensions that sequentially estimates the source term. We show that this sequential estimator is equivalent to minimizing a functional, which allows us to perform convergence analysis under observability conditions. The second project studies the evolution of non-spherical tumor growth by combining mathematical modeling with data assimilation from biological measurements. The general strategy is to extract relevant information from images of spheroids, formulate a PDE model for tumor evolution, and then reduce it to an ODE model. A reduced ROUKF coupled with a Luenberger observer is then used to estimate both the state and the parameters.

L’objectif de cet exposé est l’étude d’une équation de diffusion non linéaire fractionnaire posée sur un domaine bornée. Cette équation constitue une variante de l’équation des milieux poreux ou de l’équation de diffusion rapide, dans laquelle le laplacien est remplacé par un laplacien fractionnaire. Dans le cas des milieux poreux, les solutions présentent une décroissance à vitesse algébrique, tandis que dans le cas de la diffusion rapide, elles présentent un phénomène d’extinction en temps fini: à partir d’un certain temps elles sont uniformément nulles. Par ailleurs, les solutions convergent vers les solutions à variables séparées, lorsque le temps tend vers l’infini dans le cas des milieux poreux, ou lorsqu’il tend vers le temps d’extinction dans le cas de la diffusion rapide. Nous introduirons ensuite un schéma numérique qui préserve ces propriétés qualitatives. Ce schéma permettra de déterminer numériquement le temps d’extinction ainsi que le taux de convergence vers les solutions à variables séparées.

Dans cette présentation, nous nous intéresserons à l'équation de Schrödinger semi-classique, une équation fondamentale de la mécanique quantique, qui décrit l'évolution temporelle des particules quantiques. Comme les solutions exactes de cette équation sont rarement explicites et que les méthodes numériques classiques se révèlent souvent trop coûteuses, notre objectif est de développer des stratégies alternatives, à la fois plus faciles à mettre en œuvre et suffisamment précises, pour approcher les solutions de l'équation considérée. Pour cela, nous étudierons des fonctions particulières, appelées paquets d'ondes, qui représentent des états quantiques localisés et qui sont caractérisées par plusieurs paramètres. Dans un premier temps, nous montrerons comment, à partir d'une donnée initiale définie par un paquet d'onde, il est possible de construire une bonne solution approchée pour l'équation de Schrödinger semi-classique scalaire. Dans un second temps, nous expliquerons comment cette approche peut être généralisée à des équations plus complexes, à valeurs vectorielles, où de nouveaux phénomènes apparaissent.

Une question fondamentale dans l’étude des 3-variétés consiste à comprendre la structure topologique des 3-variétés qui admettent une métrique riemannienne complète à courbure scalaire positive, appelées variétés PSC. Les travaux de Schoen-Yau, Gromov-Lawson et Perelman ont permis de classifier les 3-variétés PSC fermées : ce sont exactement celles qui se décomposent en sommes connexes de variétés sphériques et de produits S^2xS^1. Dans cet exposé, nous présenterons un résultat de décomposition des 3-variétés PSC non compactes : si sa courbure scalaire décroît assez lentement, alors la variété se décompose en une somme connexe (possiblement infinie) de variétés sphériques et S^2xS^1. Ce résultat fait suite à des travaux récents de Gromov et de Wang. Il s'agit d'un travail en collaboration avec F. Balacheff et S. Sabourau.

Let $(M,g,X)$ be a complete gradient Kähler–Ricci expander with quadratic curvature decay (including all derivatives). Its geometry at infinity is modeled by a unique asymptotic cone, which takes the form of a Kähler cone $(C0,g0)$. In this talk, we will show that if there exists a solution to the Kähler–Ricci flow on $M$ that desingularizes this cone, then it necessarily coincides with the self-similar solution determined by the soliton metric $g$. Furthermore, if one perturbs the soliton metric in a suitable manner, the resulting initial data generates an immortal solution to the Kähler–Ricci flow which, after appropriate rescaling, converges to an asymptotically conical gradient Kähler–Ricci expander.

Étant donnée une variété hyperbolique, le spectre de son Laplacien contient de nombreuses informations sur sa structure géométrique. Une question naturelle consiste à étudier son comportement lorsque la complexité de la variété augmente. Une manière d’aborder ce problème est d’utiliser des constructions aléatoires. Dans cet exposé, je présenterai un travail en collaboration avec Will Hide, Bram Petri et Joe Thomas, portant sur le comportement du trou spectral — la première valeur propre non nulle — pour un modèle de 3-variétés hyperboliques aléatoires.

Dans cet exposé, je discuterai la preuve du résultat suivant, obtenu en collaboration avec Lahdili et Legendre : si X est une variété de Fano lisse qui porte un soliton de Kähler-Ricci, alors le cône canonique du produit de X avec l'espace projectif complexe de dimension suffisamment grande admet une métrique conique de Calabi-Yau. Cela peut être considéré comme une version asymptotique d'une conjecture de Mabuchi et Nikagawa. Le résultat est obtenu en utilisant l'ouverture (au sens C^0) de l'ensemble des fonctions de poids positifs v(x) définies sur un certain polytope associé à une variété de Fano lisse, pour laquelle existe un « v-soliton ». Si le temps le permet, je discuterai d'autres ramifications de cette approche.

Certaines EDP géométriques comme l'équation hermitienne de Yang-Mills admettent une interprétation en terme d'application moment, ce qui permet (entre autres) de les étudier d'un point de vue perturbatif. L'idée est la suivante : on part d'une solution connue de cette équation et on en perturbe les paramètres, sous quelles conditions existe-t-il toujours une solution ? Lorsqu'elle existe, comment évolue-t-elle en fonction des paramètres modifiés ? Cet exposé présentera les résultats d'existence et de continuité obtenus ainsi qu'une idée des méthodes utilisées.

Un problème classique en géométrie algébrique est celui de la construction de fibrés indécomposables de petit rang sur l'espace projectif. Jusqu'à présent, en rang 2, il existe essentiellement une unique construction d'un tel fibré sur CP^4, et aucune en dimension supérieure. Hartshorne a conjecturé qu'aucun tel fibré ne devrait exister à partir de la dimension 7. Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle approche à cette conjecture reposant sur la construction de faisceaux toriques stables à classes de Chern prescrites.