Dans cette présentation, nous discutons de résultats asymptotiques, en particulier de variation régulière et de déviations larges, pour certaines classes de processus en clusters de Poisson et pour quelques fonctionnelles associées. L’accent est mis sur le cas du processus de Hawkes (marqué), qui sert de fil conducteur et d’exemple central. Nous illustrons ensuite la pertinence des hypothèses du cadre théorique par une application à des données sismologiques suisses. Il s’agit d’une travail conjoint avec Valérie Chavez-Demoulin et Olivier Wintenberger.

Rediscovered by J-L LODAY in 1990's, Leibniz algebras are non-anticommutative versions of Lie algebras. In the last three decades numerous papers and results on Leibniz algebras appeared. Leibniz algebras play an important role in different areas of mathematics and physics. In this talk, Lie algebras and Leibniz algebras will be considered from a purely algebraical point of view. In this talk, we will give an introduction to Leibniz algebras, their bimodules and their cohomology. If we have time left, we will describe a special class of Leibniz algebras : the cyclic Leibniz algebras.

The full regularity of harmonic maps from a given surface into an arbitrary Riemannian manifold has been proved by Hélein in 1991. This is not true anymore when the domain has dimension strictly greater than 2, Rivière constructed an example of harmonic map from a 3-dimensional domain which is everywhere discontinuous in 1995. There are many possible generalizations of these maps to the higher dimensional case in order to recover the regularity of some "optimal" maps. For most of these generalizations, the optimal regularity in full generality is still open. In this talk, we will discuss some recent progress obtained for n-harmonic maps. This is a joint work with Armin Schikorra.

Quantum mechanics is well approximated by classical physics when Planck's constant is considered small, i.e., in the semi-classical limit. Typically, one can study an observable associated with a particle, such as its momentum or its position, and show that its dynamics is given by classical dynamics at first order, with corrections of the order of Planck's constant. In this talk, I will present more precisely the concept of semi-classical limits, the standard mathematical results known for non-relativistic quantum mechanics, and my work that concerns the semi-classical limit in the context of relativistic quantum mechanics. Concretely, I will show how to adapt the modulated energy method to the Klein-Gordon and Klein-Gordon-Maxwell equations and how to recover relativistic mechanics (instead of classical mechanics) at the semi-classical limit

We consider a tagged particle in mean field interaction with a Rayleigh gas of density N, and prove the convergence of its trajectory, as N goes to infinity, to the one of a diffusion process associated with the linear Landau equation. This is joint work with T. Bodineau.

Titre : Sélection de variables en grande dimension dans les modèles non-linéaires à effets mixtes : méthode, application et garanties théoriques. Résumé : La problématique de la sélection de variables en grande dimension, caractérisée par un nombre significativement plus élevé de covariables que d'observations, est bien étudiée dans le contexte des modèles de régression standard. Cependant, peu d'outils sont actuellement disponibles pour aborder cette question dans le cadre des modèles non-linéaires à effets mixtes, où les données sont collectées de façon répétée sur plusieurs individus. Ma thèse a porté sur le développement d’une procédure de sélection de covariables en grande dimension pour ces modèles, en étudiant à la fois leurs implémentations pratiques et leurs propriétés théoriques. Cette méthode repose sur un prior bayésien de type spike-and-slab gaussien et l’algorithme SAEM (Stochastic Approximation of Expectation Maximisation Algorithm). Nous en illustrons l’intérêt à travers une application concrète visant à identifier des marqueurs génétiques potentiellement impliqués dans le processus de sénescence du blé tendre. D’un point de vue théorique, nous avons analysé les propriétés fréquentistes des distributions a posteriori et établi des taux de contraction a posteriori autour des vraies valeurs des paramètres dans un modèle non-linéaire à effets mixtes sous prior spike-and-slab discret, comparables à ceux observés dans des modèles linéaires.

La détection et la localisation des modes d'une densité de probabilité (i.e., les points où la densité atteint un maximum local) constituent un problème classique de statistique non paramétrique. L’estimation du mode global, lorsqu’il est unique, en particulier pour les densités unimodales, a longtemps concentré l’attention, conduisant à la fois à la conception d’algorithmes efficaces et à une caractérisation précise des vitesses minimax sous différentes hypothèses sur la densité sous-jacente. Le problème plus général de l’estimation de l’ensemble des modes est plus difficile. Plusieurs approches ont été proposées, notamment les méthodes de type mean-shift, qui donnent des résultats satisfaisants en pratique, mais dont les performances restent peu comprises théoriquement. Dans cette présentation, nous proposerons une alternative fondée sur un outil central de l’analyse topologique des données (TDA) : l’homologie persistante et sa représentation pratique via les diagrammes de persistance. Nous présenterons plusieurs résultats sur la consistance de cette approche, pour de larges classes de densités pouvant admettre des discontinuités (y compris en les modes) ainsi que son optimalité au sens minimax. Au-delà de l’estimation des modes, nous discuterons également du problème de l’estimation des diagrammes de persistance pour de telles densités.

Title : Estimation of Multiple Modes and Persistent Homology.

Abstract : Detecting and localizing the modes of a probability density (i.e., the points where the density attains a local maximum) is a classical problem in nonparametric statistics. Estimating the global mode, when it is unique, particularly for unimodal densities, has long attracted attention, leading both to the design of efficient algorithms and to a precise characterization of minimax rates under various assumptions on the underlying density. The more general problem of estimating the set of all modes is considerably more challenging. Several approaches have been proposed, notably mean-shift methods, which perform well in practice but whose theoretical properties remain poorly understood. In this talk, we will propose an alternative approach based on a central tool from topological data analysis (TDA): persistent homology and its practical representation through persistence diagrams. We will present several results on the consistency of this method for broad classes of densities, including those that may have discontinuities (even at the modes), as well as its minimax optimality. Beyond mode estimation, we will also discuss the problem of estimating persistence diagrams for such densities.

Dans cet exposé, nous allons présenter des intégrateurs BUG (Basis-Update & Galerkin) d’ordre élevé basés sur des méthodes de Runge-Kutta explicites. Ces intégrateurs dynamiques de rang faible sont des extensions d’ordre élevé de l’intégrateur BUG et sont construits en effectuant une étape BUG à chaque étape de la méthode de Runge–Kutta. De cette manière, l’intégrateur Runge-Kutta BUG est robuste face à la présence de petites valeurs singulières et n’implique pas d’étape d’intégration tem- porelle rétrograde. Nous fournissons une borne d’erreur qui montre que l’intégrateur Runge–Kutta BUG conserve l’ordre de convergence de la méthode Runge–Kutta associée jusqu’à ce que l’erreur atteigne un plateau correspondant à l’erreur de troncature de rang faible. Cette borne d’erreur est finalement validée expérimentalement. Les résultats numériques démontrent la convergence d’ordre élevé de l’intégrateur Runge–Kutta BUG et sa précision supérieure par rapport à d’autres intégrateurs dynamiques de rang faible proposés dans la littérature.

Les cils et flagelles présentent un mouvement périodique caractéristique, leur permettant de nager aussi efficacement que possible dans un fluide visqueux. La génération d’un tel mouvement est possible grâce à une structure d’activation interne périodique présente tout le long du filament, appelée axonème. Dans l’axonème, les forces sont générées par des moteurs moléculaires qui, tous ensemble, contribuent à la courbure du filament.

Après avoir étudié le modèle de moteur moléculaire, on proposera plusieurs versions de systèmes couplés d’équations aux dérivées partielles, modélisant l’activation dans une cellule de périodicité. Les résultats théoriques seront également illustrés par des simulations numériques.

On s'intéresse à un système de N particules dans le régime de champ moyen, c'est-à-dire avec des interactions de faible intensité (d'ordre 1/N) mais à longue distance (d'ordre 1). Sur les temps courts (d'ordre 1), ce système est décrit par l'équation de Vlasov, qui est conservative. Sur des temps beaucoup plus longs (d'ordre N), par contre, la théorie de Lenard-Balescu prédit la relaxation du système vers l'équilibre (au sens fort, avec de la dissipation d'entropie). Formellement, cette relaxation lente s'explique par les corrélations entre les particules. Cependant, aucune justification rigoureuse n'a été obtenue à ce jour: les seuls résultats sont des preuves de consistance (dérivation au temps 0).

Dans cet exposé, nous revisitons le problème en partant d'un modèle simplifié, qui s'inspire de la version linéaire du problème (due à Duerinckx et Saint-Raymond) et dans lequel la hiérarchie BBGKY est tronquée à un ordre arbitraire. Partant d'une approche perturbative en diagrammes de Feynman, utilisant des idées de renormalisation, et des estimations hypoelliptiques pour les propagateurs renormalisés, nous parvenons à atteindre le temps cinétique (d'ordre N) pour ce modèle.