Dans cet exposé, je parlerai de plongements symplectiques de domaines toriques en dimension quatre et d'un nouveau résultat qui relie l'espace des trajectoires des billes sur une table de billard avec un domaine torique. J'expliquerai comment certaines capacités symplectiques qui dérivent de l'homologie de contact plongée peuvent être utilisées pour montrer que certains plongements sont optimaux.

Ce travail est essentiellement consacré aux problèmes de stabilité liés au développement de schémas numériques associés à deux modèles d’écoulement classiques. Dans un premier temps nous détaillons la construction d’une approche Volumes Finis pour le système Shallow Water avec termes sources sur maillages non structurés. En se basant sur une reformulation appropriée des équations, nous mettons en place un schéma équilibré et préservant la positivité de la hauteur d’eau, et suggérons une extension MUSCL adaptée. Le schéma est capable de gérer des topographies irrégulières et exhibe de fortes propriétés de stabilité. Nous proposons ensuite son extension aux approches Elements Finis type Galerkin discontinu. L’inclusion des termes de friction est aussi évoquée. Des résultats numériques sont exposés et la méthode se révèle bien adaptée à la description d’une large variété d’écoulements. Partant de ces observations nous proposons finalement d’exploiter ces caractéristiques pour étendre l’approche à une nouvelle famille d’équations type Green-Naghdi. Des validations numériques sont également proposées pour valider le modèle numérique.

A classical theorem of McDuff and Segal states that the sequence of unordered configuration spaces Cn(M) associated to a connected, open manifold M satisfies a phenomenon called homological stability. This means that in each fixed degree q, the sequence of homology groups Hq(C_n(M)) is eventually constant. On the other hand, it is well-known that this fails for closed manifolds -- although some conditional results are known if one takes homology with coefficients in a more general ring than the integers.

In this talk, I will explain some recent joint work with Federico Cantero, in which we extend the previously known results in this situation. A key idea in our proof is to introduce so-called "replication maps" between configuration spaces, and show that these induce isomorphisms on homology in a range of degrees under certain conditions.

One corollary of our results is to recover a "homological periodicity" theorem of Nagpal -- if we take homology with field coefficients, then for each fixed q the sequence Hq(Cn(M)) is eventually periodic in n -- and obtain a much more explicit estimate for the period. Another corollary is that for odd-dimensional manifolds M, the two sequences C{2n}(M) and C{2n+1}(M) are (independently) homologically stable, even for integral coefficients.

(Travail en collaboration avec Paul Balmer et Beren Sanders.) Dans les années 90's, Amnon Neeman a su redémontrer de façon élégante la dualité de Grothendieck en géométrie algébrique grâce à des techniques empruntées à la topologie, telles les colimites homotopiques et la représentabilité de Brown ; le cadre permettant ce commerce d'idées est celui des catégories triangulées. En 2003, Fausk, Hu et May ont remarqué la forte analogie formelle entre la dualité de Grothendieck et l'isomorphisme de Wirthmüller en homotopie stable équivariante; il s'agit d'étudier l'existence de foncteurs adjoints à droite et à gauche d'un foncteur tensoriel, et les relations entre eux.

Dans le contexte des catégories triangulées tensorielles, nous poursuivons ce filon d'idée en étudiant tous les foncteurs adjoints possibles, et adjoints des adjoints, etc., à un foncteur tenseur-exact, ainsi que les possibles formules les reliants entre eux. Nous découvrons que l'isomorphisme de Wirthmüller n'est qu'un cas spécial de la dualité de Grothendieck. Cette étude nous permet aussi de développer une théorie généralisée de la dualité qui, en plus de la dualité de Grothendieck, capture d'autres phénomènes tels la dualité de Matlis-Pontryagin en algèbre locale et la dualité de Brown-Comenetz en topologie.

On étudie la propagation du front d'onde de Gabor pour des équations de Schrödinger dont l'hamiltonien est donné par la quantification de Weyl d'une forme quadratique dont la partie imaginaire est négative. On établit une inclusion entre le front d'onde de Gabor de la solution et celle de la donnée initiale qui montre que les singularités de Gabor se propagent uniquement dans l'espace singulier associé à l'opérateur quadratique, et que si l'intersection de cet espace singulier avec le front d'onde de la donnée initiale est vide alors la solution appartient à l'espace de Schwartz pour tout temps strictement positif.