We consider Sobolev spaces on Riemannian manifolds. A natural question to ask is whether these spaces are an algebra under the pointwise product as in the Euclidean case. We shall give sufficient conditions on the underlying Laplace-Beltrami operator to ensure such algebra properties, and describe implications for chain rules and paralinearisation formulas. Our results rely on abstract paraproducts defined via functional calculus for self-adjoint operators. This is joint work with F. Bernicot and T. Coulhon.

La constante de Yamabe locale d'un espace singulier est un invariant conforme, dont dépend l'existence d'une métrique à courbure scalaire constante. Cet exposé se propose de donner une introduction aux résultats connus sur cet invariant ; nous montrerons de plus comment il est possible de le calculer dans une famille d'espace stratifiés.

(Exposé en préparation du Forum des Jeunes Mathématicien-ne-s)

Le problème de la répartition optimale de matériaux élastiques au sein d'une structure fixe a longtemps été au coeur des préoccupations en conception de structures, et a motivé l'élaboration d'outils mathématiques nouveaux (par exemple, en homogénéisation). Dans cet exposé, on s'intéresse à l'impact de la géométrie de l'interface entre plusieurs phases aux propriétés élastiques différentes sur la performance de la structure globale. L'un des problèmes majeurs est que les dérivées de formes impliquées font intervenir les sauts de quantités discontinues à travers cette interface, qui sont très difficiles à évaluer numériquement avec précision. Pour pallier cette difficulté, on propose un modèle approché, où l'interface "sèche" entre les différents matériaux est "étalée" en une bande d'épaisseur fixe (et petite). Ce changement de point de vue s'appuie sur l'utilisation de la fonction de distance signée, et implique l'étude de sa dépendance par rapport au domaine lui-même. Bien que plus complexe au premier abord, ce nouveau modèle donne lieu à des dérivées de formes plus faciles à utiliser en pratique. On peut montrer qu'il est consistant avec son pendant à "interface sèche". De plus, ce modèle jouit d'un intérêt propre, par exemple pour la modélisation d'interfaces non monotones. Plusieurs exemples numériques sont proposés, qui permettent d'évaluer les performance de l'analyse présentée. Il s'agit d'un travail en collaboration avec G. Allaire (CMAP), G. Delgado (CMAP & EADS) et G. Michailidis (CMAP & Renault).

Cette présentation porte sur les équations gyro-cinétiques et traite un développement rigoureux des limites de l'équation de Vlasov avec différents opérateurs de collision dans un champ magnétique fort, ainsi que du développement de méthodes numériques basées sur une décomposition micro-macro de la fonction de distribution des particules.

On rappellera comment les tresses apparaissent dans différents contextes topologiques et algébriques. On passera ensuite aux tresses pures, ce qui nous donnera une première occasion de parler de groupes libres. On continuera avec des actions de groupes de tresses, en étudiant notamment sous plusieurs angles l'action fidèle sur les groupes libres. Cela nous permettra de restreindre l'application de Johnson $\tau1^{std}$ aux groupes de tresses ; on présentera les calculs de Kawazumi pour cette restriction. Si le temps le permet, on fera une digression sur les algèbres de battage quantiques, ce qui pourrait améliorer la compréhension des applications $gj$ qu'on a vues dans l'exposé de Friedrich (provenant de l'article de Hochschild-Serre).

Notes. Video.

Un certain nombre d'équations aux dérivées partielles stochastiques très singulières présentent des problèmes dans leur définition même. C'est le cas, entre autres, de l'équation de KPZ, mais aussi de l'équation de quantisation stochastique en dimension 3. Les méthodes classiques d'analyse ne permettent pas de définir cette équation, et il s'avère que pour lui donner un sens, il est nécessaire de soustraire un constante infinie et de considérer formellement un nouveau problème. La théorie des distributions paracontrolées, qui combine des idées de la théorie des chemins rugueux avec la décomposition de Paley-Littlewood et le paraproduit, est un bon cadre pour donner un sens à cette renormalisation, et résoudre (localement) cette équation.

Dans une première partie nous introduirons donc la notion de distributions paracontrolées, et dans une deuxième partie, nous montrerons comment cette théorie peut s'appliquer à l'équation de quantisation stochastique en dimension 3.