Cet exposé a pour but de proposer une introduction à la théorie de Morse. La principale question abordée sera la suivante : étant connue une fonction définie sur une variété M, peut-on en déduire des informations sur la structure de la variété elle-même ? La réponse est généralement oui : la donnée d'une fonction de Morse induit une structure de complexe cellulaire sur M. On présentera les grandes idées de la preuve de ce résultat. Si le temps le permet, on abordera également les questions de réarrangement et d'annulation de points critiques.

Ce travail de thèse, en collaboration avec l’équipe de S. Valitutti (INSERM), étudie des propriétés probabilistes et statistiques de la dynamique entre des cellules immunitaires (Lymphocytes T Cytotoxiques, CTL) et un nodule tumoral. Etant difficile pour les biologistes de reproduire in vitro l’interaction CTL/nodule, nous proposons un modèle agent centré pour modéliser cette interaction. Par des simulations numériques, deux paramètres se sont révélés importants dans la réponse immunitaire : i) le déplacement des CTL, les diriger vers le nodule améliore l’efficacité des CTL ; ii) le nombre de cellules tumorales éliminées par un seul CTL, plus ce nombre est grand plus la réponse est efficace. Nous proposons un système d’EDO pour en déduire le comportement d’un nodule tumoral soumis, ou non, à une immunothérapie qui consiste à attirer les CTL vers le nodule. Puis, nous suggérons un modèle de mélange de lois de Poisson pour décrire le nombre de cellules cibles éliminées par un CTL.

On s'intéressera à une équation de Boltzmann linéaire à basse température assez proche de l'équation de relaxation linéaire. Une des propriétés principales de notre équation est la structure supersymétrique inhérente. On discutera aussi de résultats près de 0 pour le spectre et la résolvante à l'aide d'outils d'analyse semi-classique.

http://www.lebesgue.fr/fr/content/sem2015

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La méthode des moindres carrés partiels aussi appelée PLS est très utilisée de nos jours pour la prédiction en régression multivariée, notamment lorsque l'on a de fortes corrélations au sein des variables explicatives ou lorsque ces dernières dépassent en nombre les observations que l'on a à disposition. La PLS est une méthode de réduction de dimension astucieuse qui cherche à résoudre le problème de multicollinéarité en créant de nouvelles variables latentes qui maximisent la variance des variables initiales tout en restant optimales pour la prédiction. Si la PLS se révèle être un outil très utile et puissant dans de nombreux domaines, elle n'en reste pas moins une procédure complexe et peu de ses propriétés théoriques sont connues. Dans cet exposé, je vous présenterai une nouvelle façon de considérer la PLS basée sur les liens étroits qu'elle a avec des polynômes orthogonaux particuliers que j'expliciterai et que nous appellerons par la suite polynômes résiduels. La théorie des polynômes orthogonaux nous permettra ensuite de donner une expression analytique explicite pour ces polynômes résiduels. Nous verrons que cette expression montre clairement de quelle façon l'estimateur PLS dépend du signal et du bruit. A la suite de quoi, nous montrerons la puissance de cette nouvelle approche dans l'analyse des propriétés statistiques de la PLS en établissant de nouveaux résultats sur son risque empirique et son erreur quadratique moyenne de prédiction. Nous évoquerons aussi certaines propriétés de seuillage de cet estimateur et ses liens avec le gradient conjugué. Nous conclurons enfin en montrant comment l'approche par polynômes orthogonaux fournit un cadre unifié permettant de retrouver directement des propriétés déjà connues de la PLS mais démontrées par des approches diverses et différentes de la notre.