Je présenterai un théorème KAM où la partie quadratique de l'hamiltonien présente des valeurs propres multiples mais d'ordre fini. Je donnerai également l’équation d'onde non linéaire avec masse comme exemple d'application.

Il est bien connu que, pour un système hamiltonien, l'existence d'une symétrie torique fournit de précieux outils d'étude. Les applications d'une telle idée sont multiples, allant de la méthode de moyennisation en mécanique classique aux variétés toriques, en passant par les formes normales de Birkhoff et les champs magnétiques. Certaines de ces méthodes ont été appliquées avec succès à des problèmes spectraux de type "quantique" ou semiclassiques. Je raconterai quelques résultats récents sur les systèmes semi-toriques, les opérateurs non-autoadjoints à flot périodique, et les laplaciens magnétiques.

Les estimations de Strichartz pour l’équation des ondes apparaissent pour la première fois, comme il se doit, dans les travaux de Strichartz : Restriction of Fourier Transform to Quadratic Surfaces and Decay of Solutions ofWave Equations. Duke Math. J, 44 (1977).

Elles constituent aujourd’hui un outil fondamental pour l’étude des équations nonlinéaires, ainsi que pour les estimations des projecteurs spectraux en analyse harmonique. Dans cet exposé, après avoir présenté ces estimations, j’en donnerai une application simple à la résolution d’équations d’ondes non-linéaires. Enfin, j’exposerai un problème ouvert concernant ces estimations dans les domaines à bord.

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En avril 2013, Yitang Zhang découvre un raffinement de la méthode de Goldston Pintz Y\i ld\i r\i m qui permet de montrer inconditionnellement qu'il existe une infinité de nombres premiers consécutifs dont la différence est inférieure à 70 millions. Cette découverte est un projet considérable. S'en suit une démarche exceptionnelle de recherche collaborative ouverte appelée polymath8 à partir du blog du mathématicien Terrence Tao. En six mois la borne est divisée par plus de 10 mille grâce ce travail collectif.

Au moment où sa valeur commence à se stabiliser à 4680, James Maynard post doc à Montréal rend public une nouvelle méthode plus simple qui permet de descendre à 600. Mais polymath8 n'a pas dit son dernier mot et réussit à abaisser encore la borne à 246 en optimisant numériquement la méthode de Maynard.

Dans cet exposé, seront détaillées quelques étapes de ces progrès spectaculaires, seront posées quelques questions concernant une possible nouvelle manière de faire de la recherche en mathématiques : Découverte solitaire (Zhang, Maynard) ou travail collectif (Polymath8).

Dans de nombreux domaines tels que la finance, l’économétrie, l’hydrologie, on observe des séries temporelles à longue mémoire. C’est une propriété de dépendance à long terme qui implique des comportements asymptotiques atypiques, par exemple le processus des sommes partielles ne converge pas vers le mouvement Brownien (Th. de Donsker).

L’agrégation a été introduite dans les années 80 pour expliquer la présence de séries à longue mémoire en économétrie. Considérons N copies d’un processus stochastique, le processus agrégé (s’il existe) est défini comme la limite (quand N tend vers l’infini) de la moyenne renormalisée de ces processus.

Dans cet exposé, nous montrons qu’à partir de processus “simples”, comme les processus markoviens linéaires, on peut obtenir des processus agrégés à longue mémoire. Nous présentons ensuite quelques techniques d’estimation associées à ces modèles.

Les processus ponctuels déterminantaux (DPPs) ont été largement étudiés en probabilité dans les années 2000. Ils ont depuis été appliqués dans divers domaines des statistiques (statistique spatiale, machine learning, télécommunications,…), où ils sont utilisés pour modéliser des phénomènes répulsifs au sens où les points tendent à se repousser entre eux.

Nous cherchons à trouver le ou les DPPs stationnaires les plus répulsifs. Dans ce but, nous considérons deux approches pour quantifier leur répulsion. Pour chacune d'elles, nous déterminons les DPPs stationnaires les plus répulsifs. Nous étudions également la répulsion dans le sous ensemble des DPPs R-dépendant. Enfin, nous présentons de nouvelles familles paramétriques de DPPs permettant de couvrir toutes la plage de répulsion possible entre le processus de Poisson (qui n'implique aucune interaction) et le DPP le plus répulsif.

L'agrégation d'estimateurs et de prédicteurs a motivé de très nombreux travaux depuis la fin des années 1990. Le praticien voit son activité profondément modifiée par deux mouvements conjoints : nous entrons chaque jour un peu plus dans l'ère du "big data", les volumes et dimensions des données augmentent avec les progrès constants de l'outil informatique ; parallèlement, le nombre de méthodes d'estimation et de prédiction disponibles a accompagné cette inflation impressionnante, abordant tant en classification qu'en régression une variété croissante de modèles et de contextes statistiques (estimation de probabilités, modèles additifs, modèles parcimonieux...). Citons, parmi beaucoup d'autres, les méthodes pénalisées (le Lasso et ses variantes), les $k$-plus proches voisins, les arbres et forêts aléatoires, les approches bayésiennes, etc. Il est dès lors légitime d'étudier des procédures d'agrégation de techniques existantes, afin de tirer le meilleur de chacune d'elles et d'éliminer autant que possible la phase---par essence subjective---de spécification d'un modèle. La littérature est riche de nombreuses méthodes d'agrégation de prédicteurs : sélection de modèles, combinaisons linéaires ou convexes sont les principales. Nous proposons dans cet exposé une approche différente, non linéaire en les prédicteurs, reposant sur un principe de moyenne locale. À la métrique usuelle induite par le design, nous proposons de substituer une métrique particulière, suggérée par des estimateurs préliminaires de la fonction de régression. Nous montrons en particulier que l'estimateur résultant est asymptotiquement aussi efficace que le meilleur des estimateurs initiaux. Nous obtenons également une inégalité oracle exacte non asymptotique en espérance, avec une vitesse de convergence explicite. Notre méthode est disponible sur le CRAN sous la forme du package R COBRA, dont les performances brutes et la vélocité sur données simulées et réelles seront commentées. Références : http://arxiv.org/abs/1303.2236 et http://cran.r-project.org/web/packages/COBRA/index.html

We show that the Hamiltonian isotopy class of the symplectic Dehn twist depends on the parametrisation used in the construction. Moreover, this result is used to construct non-trivial symplectomorphisms of T^(S^n x S^1) having compact support, as well as non-standard symplectic structures on T^(S^n x S^1) coinciding with the standard structure outside of a compact set. (joint with Jonathan Evans)

We are interested in studying the lower central and derived series of the braid group (resp. pure braid group) of the torus, Bn (T) (resp. Pn (T)), or of the Klein bottle, Bn (K) (resp. Pn (K)). For the braid groups of surfaces, these series have been studied in the case of the disc, sphere and the projective plane. Further, the lower central series of Bn (T) was studied by P. Bellingeri, S. Gervais et J. Guaschi where the authors show that Bn (T) is residually nilpotent if and only if n ≤ 2, and Pn (T) is residually nilpotent for all n. For K we have the same result, that Bn (K) is residually nilpotent if and only if n ≤ 2. As in the case of the torus, we conjecture that Pn (K) is residually nilpotent for all n, unfortunately, we have not been able to prove this conjecture, but we have been able to show a slightly weaker property, that Pn (K) is residually soluble for all n. We also show that Bn (T) and Bn (K) are residually soluble if and only if n ≤ 4.