$dU=TdS-PdV$. Cette formule évoque à la fois le premier principe de la thermodynamique et une forme différentielle "de contact", dans l'espace de dimension 5. Par ailleurs, se cache derrière des notions telles que l'"enthalpie" où l'"énergie libre" l'idée de la transformation de Legendre... Dans cet exposé élémentaire, je vais tenter de clarifier ce faisceau de relations, en partant d'observations qui remontent, au moins, à René Thom et V.I. Arnold. Ce sera un prétexte pour passer en revue différentes incarnations et applications de cette "transformation de Legendre".

célèbre monstre ainsi défini : si n pair, Sn = n/2 , et si n impair, Sn = (3n+1)/2

We prove the existence and the stability of Cantor families of quasi-periodic, small amplitude solutions of quasi-linear autonomous Hamiltonian and reversible perturbations of KdV and mKdV. The results are based on a Nash-Moser and KAM techniques for the reducibility of the linearized operators along the iteration.

Nous nous intéressons à la résolution d’équations de diffusion anisotropes elliptiques ou paraboliques par des méthodes de type Volumes Finis. Les dernières années ont vu se développer de nombreuses méthodes linéaires, c’est à dire consistant à résoudre un système linéaire lorsque le problème est linéaire. Ces méthodes ont toute le défaut de ne pas préserver certaines propriétés fondamentales du problème continu, comme le principe du maximum où la décroissance de certaines entropies d’intérêt. Cela pousse donc à considérer des méthodes non-linéaires. Deux familles de méthodes seront discutées: i) une première, consistant à corriger un schéma donné par des termes non-linéaires ad hoc afin d’imposer des propriétés de monotonie; ii) une seconde, consistant à discrétiser une équation reformulée du problème permettant d’assurer la décroissance au niveau discret d’entropies bien choisie, assurant la positivité de la solution.

Ce travail est le fruit d’une collaboration avec M. Cathala, C. Guichard et Ch. Le Potier.

Une cône-variété est une variété riemannienne dont la métrique présente des singularités de type conique, i.e. est asymptotique à celle du produit d'un cône avec un ouvert de R^n. De tels objets apparaissent naturellement en géométrie hyperbolique, en géométrie complexe, et en physique théorique. Dans cet exposé je présenterai les résultats récents sur l'existence de métriques coniques Einstein, dans le cas Kähler, où le problème est bien compris, et dans le cas réel, où l’on connaît beaucoup moins de choses au-delà de la dimension 3.