In this presentation, we focus on a theoretical analysis and the use of statistical and optimization methods in the context of sparse linear regressions in a high-dimensional setting. The first part of this work is dedicated to the study of statistical learning methods, more precisely penalized methods and greedy algorithms. The second part concerns the application of these methods for gene regulatory networks inference. Gene regulatory networks are powerful tools to represent and analyse complex biological systems, and enable the modelling of functional relationships between elements of these systems. We thus propose to develop optimization methods to estimate relationships in such networks.
On commencera par un rappel sur les structures auto-distributives (quandles, racks etc.), leurs homologies et leurs applications aux théories des nœuds et des tresses. Ensuite on présentera une théorie homologique des opérateurs de Yang-Baxter, où le flot d’idées va changer de sens : c’est la théorie des tresses qui va donner des méthodes et des inspirations pour une étude algébrique. La 3ème partie de l’exposé fermera la boucle : on munira diverses structures algébriques (quandle, algèbre associative, algèbre de Lie, bigèbre etc.) d'opérateurs de Yang-Baxter, de telle sorte que la théorie homologique associée contienne les homologies usuelles des structures en question. Comme application, on obtient une explication conceptuelle des parallèles entre les théories homologiques des structures auto-distributives et associatives, mis en évidence par J.Przytycki.
Dans cet exposé je vais présenter un travail fait en collaboration avec R. Mazzeo et F. Pacard sur la construction de sous-variétés de courbure moyenne constante en codimension quelconque dans les variétés riemanniennes munies de métriques génériques. Notre résultat est une généralisation du théorème de R. Ye qui construit des familles d'hypersurfaces de courbure moyenne constante qui sont des petites déformations de sphères géodésiques centrées en des points critiques non-dégénérés de la courbure scalaire et d'un travail plus récent de F. Pacard et X. Xu où de telles hypersurfaces sont obtenues autours de points critiques d'un autre invariant de courbure.
En codimension quelconque, on définit les sous-variétés de courbure moyenne constante comme les bords des sous-variétés qui sont des points critiques d'une certaine énergie. En utilisant des techniques développées par Pacard et Xu, on construit telles sous-variétés autours des points critiques d'une fonctionnelle, qu'on appelle la courbure scalaire partielle, qui est définie sur le fibré grassmanien de la variété ambiante et coïncide avec la courbure scalaire dans le cas de codimension 1.
Les inégalités de Strichartz sont des outils puissants pour étudier des
équations du type Schrödinger. On les obtient à partir d'estimations de
dispersion L^1-L^{\infty}. L'objectif de cet exposé est de présenter une
approche unifiée pour démontrer de telles inégalités dans un cadre général.
On considère ainsi un espace métrique muni d'une mesure doublante et un
opérateur auto-adjoint engendrant un semi-groupe avec de bonnes propriétés.
L'idée est de substituer l'estimation L^1-L^{\infty} usuelle à une estimation
H^1-BMO mieux adaptée au problème, et de tirer profit du lien entre la
dispersion pour l'équation des ondes et pour l'équation de Schrödinger.
En relativité générale, les équations de contraintes déterminent les
données initiales permettant de résoudre les équations d'Einstein comme un
problème d'évolution.
La méthode conforme - initiée par Choquet-Bruhat, Lichnerowicz et York - rend
ces équations déterminées en les posant sous la forme d'un système d'équations
elliptiques non-linéaires (sur)-critiques fortement couplé.
Nous étudierons dans cet exposé des propriété de stabilité de ce système
elliptique. La notion de stabilité étudiée ici, définie comme une propriété de
dépendance continue de l'ensemble des solutions du système en ses coefficients,
se traduit en termes de pertinence physique de la méthode conforme dans la
construction d'espace-temps solutions des équations d'Einstein. L'analyse de
la stabilité du système des contraintes fait intervenir des techniques fines de
blow-up et d'étude des défauts de compacité d'équations elliptiques critiques
On commencera par une introduction à la théorie classique des suites fortement centrales et algèbres de Lie associées sur un groupe G quelconque, en introduisant quelques exemples classiques, dont la filtration d'Andreadakis sur Aut(G). On présentera ensuite dans ce cadre le morphisme de Johnson, qui permet notamment de déterminer IAn^{ab} (= H1(IA_n)). Dans un deuxième temps, On introduira l'algèbre de Magnus, qui permet de faire des calculs sur le groupe libre à partir les développements de Magnus et des applications de Johnson suivant Kawazumi.
