De nombreux problèmes issus des applications font intervenir des fonctions d'un très grand nombre de variables. On peut citer en particulier les problèmes de théorie de l'apprentissage, les EDP ou modèles numériques dépendant de variables paramétriques ou stochastiques. Il en découle des difficultés numériques, souvent appelées ''plaie des grandes dimensions''. Après avoir introduit les fondements permettant de comprendre ces difficultés, nous montrerons comment elles peuvent être traitées dans le cas des EDP paramétriques/stochastiques, en faisant appel à des notions d'approximation non-linéaire et de parcimonie.

Je présenterai un théorème KAM où la partie quadratique de l'hamiltonien présente des valeurs propres multiples mais d'ordre fini. Je donnerai également l’équation d'onde non linéaire avec masse comme exemple d'application.

Il est bien connu que, pour un système hamiltonien, l'existence d'une symétrie torique fournit de précieux outils d'étude. Les applications d'une telle idée sont multiples, allant de la méthode de moyennisation en mécanique classique aux variétés toriques, en passant par les formes normales de Birkhoff et les champs magnétiques. Certaines de ces méthodes ont été appliquées avec succès à des problèmes spectraux de type "quantique" ou semiclassiques. Je raconterai quelques résultats récents sur les systèmes semi-toriques, les opérateurs non-autoadjoints à flot périodique, et les laplaciens magnétiques.

Les estimations de Strichartz pour l’équation des ondes apparaissent pour la première fois, comme il se doit, dans les travaux de Strichartz : Restriction of Fourier Transform to Quadratic Surfaces and Decay of Solutions ofWave Equations. Duke Math. J, 44 (1977).

Elles constituent aujourd’hui un outil fondamental pour l’étude des équations nonlinéaires, ainsi que pour les estimations des projecteurs spectraux en analyse harmonique. Dans cet exposé, après avoir présenté ces estimations, j’en donnerai une application simple à la résolution d’équations d’ondes non-linéaires. Enfin, j’exposerai un problème ouvert concernant ces estimations dans les domaines à bord.

Affiche

En avril 2013, Yitang Zhang découvre un raffinement de la méthode de Goldston Pintz Y\i ld\i r\i m qui permet de montrer inconditionnellement qu'il existe une infinité de nombres premiers consécutifs dont la différence est inférieure à 70 millions. Cette découverte est un projet considérable. S'en suit une démarche exceptionnelle de recherche collaborative ouverte appelée polymath8 à partir du blog du mathématicien Terrence Tao. En six mois la borne est divisée par plus de 10 mille grâce ce travail collectif.

Au moment où sa valeur commence à se stabiliser à 4680, James Maynard post doc à Montréal rend public une nouvelle méthode plus simple qui permet de descendre à 600. Mais polymath8 n'a pas dit son dernier mot et réussit à abaisser encore la borne à 246 en optimisant numériquement la méthode de Maynard.

Dans cet exposé, seront détaillées quelques étapes de ces progrès spectaculaires, seront posées quelques questions concernant une possible nouvelle manière de faire de la recherche en mathématiques : Découverte solitaire (Zhang, Maynard) ou travail collectif (Polymath8).

Dans de nombreux domaines tels que la finance, l’économétrie, l’hydrologie, on observe des séries temporelles à longue mémoire. C’est une propriété de dépendance à long terme qui implique des comportements asymptotiques atypiques, par exemple le processus des sommes partielles ne converge pas vers le mouvement Brownien (Th. de Donsker).

L’agrégation a été introduite dans les années 80 pour expliquer la présence de séries à longue mémoire en économétrie. Considérons N copies d’un processus stochastique, le processus agrégé (s’il existe) est défini comme la limite (quand N tend vers l’infini) de la moyenne renormalisée de ces processus.

Dans cet exposé, nous montrons qu’à partir de processus “simples”, comme les processus markoviens linéaires, on peut obtenir des processus agrégés à longue mémoire. Nous présentons ensuite quelques techniques d’estimation associées à ces modèles.

Les processus ponctuels déterminantaux (DPPs) ont été largement étudiés en probabilité dans les années 2000. Ils ont depuis été appliqués dans divers domaines des statistiques (statistique spatiale, machine learning, télécommunications,…), où ils sont utilisés pour modéliser des phénomènes répulsifs au sens où les points tendent à se repousser entre eux.

Nous cherchons à trouver le ou les DPPs stationnaires les plus répulsifs. Dans ce but, nous considérons deux approches pour quantifier leur répulsion. Pour chacune d'elles, nous déterminons les DPPs stationnaires les plus répulsifs. Nous étudions également la répulsion dans le sous ensemble des DPPs R-dépendant. Enfin, nous présentons de nouvelles familles paramétriques de DPPs permettant de couvrir toutes la plage de répulsion possible entre le processus de Poisson (qui n'implique aucune interaction) et le DPP le plus répulsif.