A categorical group is a monoidal category with associator, left-right unitor are identity. Thus under the tensor product, both object and morphism sets are groups. Categorical groups have an equivalent description in terms of "crossed-modules". We will discuss the representations of categorical groups on "certain categorical spaces" and some of the consequences. We will introduce the notion of semi-direct product of categories and show how this notion can be used to give a more general description of representations of categorical groups. This is a joint work with A. Lahiri, A. N. Sengupta.

Is it possible to find an embedded Lagrangian disk in \C^n - B^2n, so that the boundary is a Legendrian in S^{2n-1}? When n=2 the answer is no, but in all higher dimensions such disks exist in abundance. This follows from a more general existence theorem for Lagrangian embeddings with loose concave boundary; in this two-part talk we precisely state and prove this theorem. The proof has two main components: an action-balancing lemma for Lagrangian immersions, and a Lagrangian Whitney trick. We discuss the proof of both, in particular discussing how they both rely on the classification theorem for loose Legendrians. This project is joint work with Yakov Eliashberg.

Notes

On considère un nombre arbitraire (fini) d'équations de Schrödinger bilinéaires unidimensionnelles avec un seul contrôle. En adaptant des arguments de type Lyapunov, on montre la contrôlabilité globale approchée du système considéré. La méthode du retour de J.-M. Coron permet, grâce à la construction d'une trajectoire de référence adéquate, de contrôler ce système de manière exacte au voisinage de portes logiques quantiques. Ces deux résultats, conjointement à un argument de perturbation, conduisent à la contrôlabilité exacte globale du système considéré pour un potentiel arbitraire. Ce résultat a été obtenu en collaboration avec V. Nersesyan (UVSQ).

Le théorème de Noether-Deuring classique montre que sous certaines conditions deux modules sont isomorphes si et seulement si ils le sont après élargissement des scalaires. Nous proposons un théorème analogue pour les catégories dérivées bornées des modules.

Travail en commun avec Emmanuel Giroux. On étudiera les hypersurfaces de Donaldson dans le cas de la symplectisée d'une variété de contact.

Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats obtenus avec Vittoria Pierfelice, concernant l'équation des ondes et l'équation de Klein-Gordon sur les espaces hyperboliques. Comme pour l'équation de Schrödinger, la dispersion en temps grand est meilleure dans le cadre hyperbolique que dans le cadre euclidien. On en déduit des inégalités de Strichartz plus larges et des résultats d'existence plus forts pour les équations semi-linéaires associées. En particulier, le phénomène d'explosion de John, généralisé par Strauss et Sideris, disparaît dans le cadre hyperbolique.