La factorisation de Birkhoff consiste, étant donnée une fonction G du cercle unité S^1 dans GL_N, à trouver deux fonctions à valeurs matricielles Y+ et Y- holomorphes respectivement à l'intérieur et à l'extérieur du cercle telles que sur le cercle Y+=(Y-)G.

Nous verrons comment on peut déformer cette factorisation en faisant agir des difféomorphismes du cercle sur G. Ces déformations sont gouvernées par un système intégrable, que l'on appellera système de Schlesinger universel, qui fournit une généralisation de dimension infinie du système de Schlesinger classique (décrivant les déformations isomonodromiques de systèmes fuchsiens).

Nous verrons également comment le système de Schlesinger universel décrit des déformations de surfaces minimales du type du disque à bord analytique, et comment il pourrait intervenir dans une résolution plus constructive du problème de Plateau par des systèmes intégrables.

A la fin des années 60, G. Margulis montre dans sa thèse comment la propriété de mélange du flot géodésique sur une variété compacte de courbure négative (pour une mesure - éponyme) entraîne l'existence d'un équivalent du volume des boules dans le revêtement universel de la variété. Dans un travail récent, nous donnons des conditions nécessaires (et faiblement suffisantes, au sens où il existe des contre-exemples si elles ne sont pas satisfaites) pour que l'existence d'un équivalent asymptotique persiste lorsque l'on considère des variétés de volume fini. Nous motiverons ce travail par une discussion préliminaire, de sorte à s'adresser à un public (relativement) large et nous discuterons également de l'asymptotique de la fonction de comptage du groupe.

(Travail en collaboration avec F. Dal'Bo, M. Peigné et A. Sambusetti)

Il existe depuis une quinzaine d'années diverses formules paramétrant les surfaces de R^3 ou R^4 (et quelques autres variétés homogènes) au moyen de quantités «spinorielles», qui vérifient une équation dite de Dirac (travaux de Taimanov, Konopelchenko, Kusner, Schmitt etc.). L'objectif de cet exposé est d'expliquer d'où viennent ces formules et en quoi elles sont reliées à la théorie «classique» des spineurs, notamment aux travaux de Friedrich, Roth et al. sur les spineurs de Killing induits.

TBA

L'approximation de toit rigide est couramment utilisée en Océanographie, afin de simplifier l'étude d'un système stratifié (typiquement une couche d'eau salée sur une couche d'eau pure). Elle consiste à négliger les déformations de la surface du fluide devant les déformations se produisant à l'interface entre deux couches, et est motivée par la faible différence de densité entre les deux couches de fluide. On testera la validité de cette approximation pour un système de deux fluides non-miscibles, en comparant les prédictions du modèle simplifié de Saint Venant (ou shallow water), dans les deux configurations : toit rigide ou surface libre. Mathématiquement parlant, les mots clé sont : système hyperbolique quasi-linéaire.

On expliquera comment des outils d'analyse 2-microlocale permettent de montrer à la fois des propriétés dispersives (à haute fréquence) et une inégalité d'observabilité, pour l'équation de Schrödinger sur le tore plat (en commun avec Fabricio Macià).