C'est un travail en collaboration avec André Joyal. Le résultat fondamental est que la catégorie des dg-coalgèbres est monoïdale fermée et que la catégorie des dg-algèbres est enrichie, bicomplète et monoïdale sur celle des dg-coalgèbres. Cette structure produit six opérations sur les algèbres et coalgèbres qui peuvent être utilisées pour construire plusieurs type d'adjonctions entre les catégories d'algèbres et de coalgèbres. Nous retrouvons ainsi nombre d'adjonctions déjà connues (algèbres de jets, dualité algèbre-cogèbre...) en particulier nous retrouvons un nouveau point de vue sur l'adjonction bar-cobar.

Joint work with Peter Albers and Urs Fuchs. In 2000 Eliashberg-Polterovich introduced the natural notion of orderability of contact manifolds; that is, the (non)existence of positive loops of contactomorphisms. I will explain how one can study orderability questions using the machinery of Rabinowitz Floer homology. We establish a link between orderable and hypertight contact manifolds, and show that the Weinstein Conjecture holds (i.e. there exists a closed Reeb orbit) whenever there exists a positive (not necessarily contractible) loop of contactomorphisms.

This talk will introduce a new invariant of tangles derived from Khovanov homology. As application, this may be used to construct an invariant of strong inversions of knots in the three-sphere and, in turn, produces an object that is quite sensitive to non-amphicheirality. Surprisingly, this new invariant picks up information that is not detected by the Jones polynomial or, more generally, Khovanov homology.

Non-displaceability of certain Lagrangian submanfolds is a rigidity phenomenon in symplectic geometry. There are well-known sufficient conditions for non-displaceability. One is non-vanishing of Lagrangian intersection Floer cohomology. The other is (super)heaviness due to Entov and Polterovich. (Note that the latter is defined for any subsets, which are not necessarily Lagrangian submanifolds.) I will explain the relation between these conditions and present some examples based on joint work with Fukaya, Oh and Ohta. If time allows, I will discuss another argument for superheaviness of certain subsets.

J'ai travaillé à Berkeley sur des modules croisés de racks avec Alissa Crans (Loyola Marymount University, LA).

La notion de rack généralise celle de groupe en axiomatisant les propriétés de la conjugaison. Un module croisé de racks est la donnée d'un rack R, d'un rack module X et d'un morphisme équivariant f: X -> R. Fenn et Rourke ont défini un rack, appelé le rack fondamental, associé à un entrelacs L \subset Q.

Le complémentaire du fibré normal en disques de la sous-variété L est appelé Q0. Le rack fondamental raffine l'invariant de Whitehead pi2(Q,Q0) -> pi1(Q_0), qui est lui-même un module croisé de groupes. En fait, c'est ce module croisé qui a incité Whitehead à introduire les modules croisés de groupes.

Nous montrons dans notre travail avec Alissa qu'on peut associer un module croisé de racks fondamentaux à une situation où un revêtement est muni d'entrelacs compatibles.

On s'intéresse à un modèle de billard dans le plan introduit par les physiciens Ehrenfest-Ehrenfest (1912) et Hardy-Weber (1980) : dans le plan euclidien sont disposés régulièrement le long du réseau Z^2 des rectangles de taille fixée (a,b). On considère le billard dans le complémentaire de ces rectangles : une particule se déplace en ligne droite en rebondit de manière élastique sur les obstacles (voir le dessin ci-dessous). Lorsqu'on remplace les obstacles rectangulaires par des boules il s'agit du modèle périodique du gaz de Lorenz. Dans ce cas, les trajectoires s'apparente à des marches aléatoires; on a en particulier une vitesse de diffusion en T^(1/2) (penser au théorème central limite). Dans le cas du modèle d'Ehrenfest, les corrélations sont très fortes et nous verrons que la vitesse de diffusion est en T^(2/3). La preuve de ce résultat repose sur la renormalisation des flots de translation par le flot de Teichmueller.