Nous considérons la linéarisée de l'application de Dirichlet--Neumann (DN)
comme fonction du potentiel en un point donné par un potentiel analytique.
Nous montrons qu'elle est injective pour des mesures faites dans un ouvert
où le bord est analytique. Plus généralement, nous lions l'analyticité jusqu'au
bord des variations infinitésimales du potentiel à celle des symboles des
variations correspondantes de l'application DN.
Une "surface" est un objet lisse à deux dimension : localement, on peut le voir comme l'image dans R^3 d'une application différentiable z = F(x,y). Dans l'étude d'une surface, on peut distinguer deux grands types de questions :
- sa topologie, c'est à dire ses propriétés qui ne changent pas quand on la déforme sans la déchirer ;
- ses propriétés métriques, comme sa courbure, le chemin le plus court entre deux de ses points, ses fréquences propres de vibration...
Le but de cet exposé sera de donner une idée de comment ces deux branches de mathématiques interagissent, au travers de quelques théorèmes anciens ou récents.
La K-théorie doit son nom au mot "classe" ("Klasse" en allemand) ; c'est au départ une construction algébrique universelle qui associe un groupe à un monoïde en formant certaines classes d'équivalence, de façon analogue à la construction des nombres entiers à partir des nombres naturels. Quillen a introduit la K-théorie algébrique supérieure des anneaux en plaçant cette construction dans le contexte plus flexible de la topologie ; sa théorie s'est révélée étroitement liée à des questions arithmétiques profondes. Elle fut généralisée ensuite par Waldhausen à des "anneaux à homotopie près" ou "S-algèbres", établissant un point de contact novateur entre l'arithmétique et la géométrie.
Dans cet exposé, qui s'adresse au non-specialiste, je proposerai une introduction à cette théorie, accompagnée d'un petit choix de résultats anciens et récents.
La K-théorie algébrique des anneaux et corps de nombres
satisfait à une forme de périodicité, étroitement liée à la
célèbre périodicité de Bott en K-théorie topologique. John Rognes a conjecturé que, dans la perspective plus large de la K-théorie de
Waldhausen, ceci n'est que l'exemple d'un décalage chromatique systématique.
Dans cet exposé, je présenterai cette conjecture et
une tentative de l'étudier à l'aide de la K-théorie itérée.
Nowadays deformation theory of algebraic structures is a well developed, but still central, topic in different research areas of mathematics like algebraic topology, mathematical physics, algebraic geometry... The first example of this kind of deformations were infinitesimal and formal deformations of associative algebras, introduced by Gerstenhaber in the sixties. The aim of this talk is to give an introduction to this example and to the principal tool used in deformation theory, the Hochschild cohomology, and to show a modern application: deformation quantization of
Poisson manifolds (Kontsevich, 1997).
En 1970, Kreiss a exhibé une condition nécessaire et suffisante pour qu'un problème aux limites hyperbolique soit fortement bien posé au sens où ce dernier admet une unique solution ayant la même régularité que celle des données du problème. Dans cet exposé, on s'intéressera a des problèmes aux limites vérifiant des versions plus faibles de cette condition et donc dont les solutions subissent des pertes de régularité. Après, un bref survol du cas fortement bien posé et une description de la littérature sur les différentes pertes connues dans le cas faiblement bien posé, on montrera comment des outils d'optique géométrique permettent d'établir l'optimalité de certaines des pertes précédemment décrites.
