We investigate the coupling of the Multi-dimensional Optimal Order Detection (MOOD) method and the Arbitrary high order DERivatives (ADER) approach in order to design a new high order accurate, robust and computationally efficient Finite Volume (FV) scheme dedicated to solve nonlinear systems of hyperbolic conservation laws on unstructured triangular and tetrahedral meshes in two and three space dimensions, respectively.

The Multi-dimensional Optimal Order Detection (MOOD) method for 2D and 3D geometries has been introduced in a recent series of papers [1, 2, 3] for mixed unstructured meshes. It is an arbitrary high-order accurate Finite Volume scheme in space, using polynomial reconstructions with a posteriori detection and polynomial degree decrementing processes to deal with shock waves and other discontinuities.

In the following work, the time discretization is performed with an elegant and efficient one-step ADER procedure [4, 5]. Doing so, we retain the good properties of the MOOD scheme, that is to say the optimal high-order of accuracy is reached on smooth solutions, while spurious oscillations near singularities are prevented. The ADER technique permits not only to reduce the cost of the overall scheme as shown on a set of numerical tests in 2D and 3D, but it also increases the stability of the overall scheme.
A systematic comparison between classical unstructured ADER-WENO schemes and the new ADER-MOOD approach has been carried out for high-order schemes in space and time in terms of cost, robustness, accuracy and efficiency.

A large suite of classical numerical test problems has been solved on unstructured meshes for three challenging multi-dimensional systems of conservation laws: the Euler equations of compressible gas dynamics, the classical equations of ideal magneto-Hydrodynamics (MHD) and finally the relativistic MHD equations (RMHD), which constitutes a particularly challenging nonlinear system of hyperbolic partial differential equation.

If time permits we will present the extension of the a posteriori treatment to construct a subcell limiter for Discontinuous Galerkin methods of high accuracy (polynomial degree 9).

References:
[1] S. Clain, S. Diot, and R. Loubère, A high-order finite volume method for systems of conservation laws-multi-dimensional optimal order detection (MOOD). Journal of Computational Physics, 230(10):4028 – 4050, 2011.
[2] S. Diot, S. Clain, and R. Loubère, Improved detection criteria for the multi-dimensional optimal order detection (MOOD) on unstructured meshes with very high-order polynomials. Computers and Fluids, 64:43 – 63, 2012.
[3] S. Diot, R. Loubère, and S. Clain, The MOOD method in the three-dimensional case: Very-high-order finite volume method for hyperbolic systems. International Journal of Numerical Methods in Fluids, 73:362–392, 2013.
[4] M. Dumbser, Arbitrary high order PNPM schemes on unstructured meshes for the compressible Navier- Stokes equations. Computers and Fluids, 39:60–76, 2010.
[5] M. Dumbser, M. Castro, C. Parés, and E.F. Toro, ADER schemes on unstructured meshes for non-conservative hyperbolic systems: Applications to geophysical flows. Computers and Fluids, 38:1731 – 1748, 2009.

Afin de développer de nouveaux schémas numériques préservant l’asymptotique pour des équations cinétiques en régimes hyperbolique ou diffusif, il est intéressant d’appliquer la technique d’intégration projective introduite par Gear et Kevrekidis pour des grands systèmes différentiels apparaissant en chimie. Après avoir introduit l’intégration projective pour les équations cinétiques, j’exposerai notamment une méthode pour la montée en ordre de ces schémas.

If we have are two commuting symplectomorphisms of a symplectic manifold, each one of them induces an automorphism of Floer cohomology of the other one. I will show that the supertraces of these two automorphisms are equal, developing a suggestion by Paul Seidel. As a particular case, I will explain that if a symplectomorphism f commutes with a symplectic involution, the dimension of HF(f) is bounded below by a topological quantity: the Lefschetz number of the restriction of f to the fixed locus of the involution. I will then use this bound to prove that Dehn twists in most projective hypersurfaces have infinite order in the symplectic mapping class group, though sometimes they have finite order in the smooth mapping class group.

Nous construisons une famille de relations entre les classes de cohomologie dites tautologiques de l'espace des modules Mbar_{g,n} des courbes stables de genre g avec n points marqués. Cette famille contient toutes les relations connues à ce jour et on conjecture qu'elle est complète et optimale. La construction utilise la classe 3-spin de Witten et la classification des théories cohomologiques des champs de Givental-Teleman.

Les fractures qui constituent les chemins privilèges pour l'écoulement et le transport jouent un rôle fondamental dans le domaine d'hydrogéologie, dans l'ingénierie minière ou pétrolière. Nous nous intéressons au modèle asymptotique dans lequel les fractures sont représentées explicitement par les interfaces de codimension 1.

On commencera par la présentation du problème continu et de sa discrétisation centrée aux nœuds. Les schémas nodaux qui sont attractifs grâce à leur cout faible sur les maillages tétraédriques ont toutefois une réputation d’être peu précises lorsque la perméabilité du milieu possède des fortes variations. Nous allons voir comment ce défi peut être relevé. Le nouveau schéma sera comparé numériquement à l'approche CVFE classique.

Dans un deuxième temps nous allons nous tourner vers l’analyse de plus théorique. En s’appuyant sur les travaux récents de R. Eymard et al. nous formulerons les conditions suffisant de la convergence d’un schéma numérique abstrait.

L'exposé donnera les outils de base pour comprendre le problème de Yamabe sur les variétés compactes. Dans une deuxième partie, les espaces stratifiés seront introduits avec les résultats connus dans ce cas sur l'existence d'une métrique à courbure scalaire constante. La dernière partie est dédiée aux espaces stratifiés avec une métrique d'Einstein.