Cet exposé est consacré à l'étude mathématiques et numérique d'un problème physique issu de la volcanologie. On s'intéresse à la modélisation polydisperse de croissance de bulles par exsolution, décompression et coalescence. Un modèle de croissance polydisperse a été proposé dans la littérature, mais ne prenait en compte que le volume des bulles, ce qui restreint le domaine d'application car la croissance par exsolution dépend également de la masse d'eau présente dans la bulle. Pour améliorer ce modèle, nous partons d'une description monodisperse adimensionnelle de la croissance d'une bulle par décompression et exsolution, donnée par le couplage de deux EDO et une EDP. La validation numérique permet de définir une approximation du flux afin de découpler le système d'équations. Nous pouvons alors étendre le modèle polydisperse de une à deux dimensions. Une résolution de la coalescence est proposée et couplée avec le modèle de croissance polydisperse.

Dans le cadre du nucléaire civil, la modélisation des écoulements diphasiques est nécessaire à la représentation de nombreuses configurations d'écoulements fluides dans les circuits primaire et secondaire des centrales s'appuyant sur des réacteurs à eau pressurisée (REP). Les applications visées concernent non seulement le fonctionnement nominal, mais aussi et surtout les configurations incidentelles, parmi lesquelles on peut citer l'accident par perte de réfrigérant primaire (APRP), les phénomènes de crise d'ébullition, mais aussi le renoyage des coeurs. En régime nominal dans le circuit primaire, le fonctionnement est très proche du fonctionnement monophasique pur, la vapeur étant a priori absente. En revanche, le taux de présence de vapeur peut devenir de faible à conséquent dans les situations incidentelles.

On s'intéresse plus particulièrement ici au modèle diphasique de Baer-Nunziato qui entre dans la classe des modèles bifluides hyperboliques. L'objectif de ce travail est de proposer quelques techniques de prise en compte de la disparition de phase, régime qui occasionne d'importantes instabilités tant au niveau du modèle qu'au niveau de sa simulation numérique.

L'enseignement principal est que dans ces régimes, il est possible des stabiliser les solutions en introduisant une dissipation de l'entropie totale de mélange. D'un point de vue numérique, cette dissipation d'entropie supplémentaire permet en effet d'obtenir des approximations stables dans ces régimes. Les méthodes d'analyse et d'approximation proposées reposent de façon intensive sur les techniques d'approximation par relaxation de type Suliciu , et les méthodes numériques qui en découlent. La résolution exacte du problème de Riemann pour le système relaxé permet de définir un schéma numérique extrêmement précis pour le modèle de Baer-Nunziato. Nous montrons que dans les régimes de fonctionnement normal (i.e. sans disparition de phase), la méthode numérique ainsi obtenue est bien plus économique en terme de coût CPU (à précision donnée) que le schéma classique très simple de Rusanov. De plus, nous montrons que ce nouveau schéma est très robuste puisqu'il permet la simulation des régimes de disparition de phase. Les travaux sont initialement développés sur la version 1D du modèle, pour laquelle une inégalité d'entropie discrète vérifiée par le schéma fut démontrée. Ils sont ensuite étendus en 2D et intégrés à un prototype de code industriel développé par EDF.

This talk presents the marked point processes as a methodological framework for morphological and statistical characterisation of the pattern ``hidden'' in spatial data. Digital images, environmental data in epidemiology or catalogues of celestial bodies in astronomy are some typical examples of spatial data. This methodology is made of four key elements : probabilistic modelling based on marked point processes, Monte Carlo simulation using tailored Metropolis-Hastings dynamics or perfect sampling, statistical inference and results validation. Examples from remote sensing, cosmology and epidemiology are also given. The speaker would like also to start a scientific debate with the public, about the main advantages and drawbacks of this approach.

On étudie la dissipation locale de l'énergie pour des EDP de type gradient sur des domaines non bornés. On part de l'hypothèse (vérifiée dans de nombreux exemples classiques) que le carré du flux d'énergie est majoré par une quantité linéaire en la dissipation d'énergie. On établit alors des bornes simples et universelles sur le flux d'énergie intégré en temps qui impliquent que, si la dimension de l'espace n'est pas trop grande, notre "système dynamique étendu" se comporte la plupart du temps comme un système gradient. En particulier, on peut estimer le temps passé par toute trajectoire en dehors d'un voisinage donné de l'ensemble des points d'équilibre. A titre d'application, on étudie le comportement asymptotique en temps des solutions de l'équation de Navier-Stokes à deux dimensions dans un cylindre infini. Cet exposé est basé sur une collaboration en cours avec Sinisa Slijepcevic (Zagreb).

On étudiera la stabilité de mesures invariantes dans un sens large pour l'équation de Benjamin-Bona-Mahony. On commencera par construire une mesure invariante par le flot de BBM. Cette mesure est induite par une variable aléatoire dont les coefficients de Fourier sont indépendants les uns des autres. On étudiera alors la stabilité de cette invariance lorsqu'on ajoute de faibles corrélations entre ces coefficients. Puis on s'interressera à la persistance de l'indépendance des modes de Fourier pour une gamme de mesures plus large lorsque la non linéarité de l'équation est supposée faible.

Dans cet exposé on analyse le spectre d'opérateurs de Schrödinger avec champ magnétique constant dans des ouverts de type diédraux. Pour comprendre l'influence d'une arête courbe sur la première valeur propre de l'opérateur dans la limite semi-classique, il faut connaître le bas du spectre d'un nouvel opérateur modèle : l'opérateur de Schrödinger magnétique avec champ constant sur un dièdre infini. Par comparaison avec des opérateurs de Sturm-Liouville singuliers sur le demi-axe on obtient des majorations du bas du spectre de l'opérateur sur le dièdre. On applique ces résultats à l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant et petit paramètre dans des domaines bornés de l'espace possédant des arêtes courbes. On obtient le premier terme de l'asymptotique pour diverses orientations du champ magnétique et on montre dans certains cas que la première valeur propre est inférieure aux valeurs propres associées à des ouverts réguliers.