Mardi 27 novembre 2012 Guillaume Davodeau Le problème de la forme géométrique de la cellule d'abeille : une illustration de la mathématisation de la nature au 18 siècle.

On analyse un schéma volumes finis pour un modèle de Keller-Segel en dimension 2 avec diffusion croisée étudié par S. Hittmeir et A. Jüngel dans un article de 2011. On considère le modèle parabolique-elliptique, avec l'ajout d'un terme de diffusion croisée dans l'équation elliptique. Ce terme empêche l'explosion des solutions en temps fini, qui peut avoir lieu pour le système de Keller-Segel classique. On considère une discrétisation volumes finis en espace et implicite en temps. Après avoir prouvé l'existence d'une solution au schéma, on obtient une inégalité d'entropie en utilisant des versions discrètes d'inégalités de Sobolev, et on peut finalement en déduire des estimations a priori. On obtient alors grâce à ces estimations la compacité d'une famille de solutions approchées et on peut passer à la limite dans le schéma. Dans le cas où le coefficient devant le terme de diffusion croisée est suffisamment grand, on peut prouver la convergence en temps long de la solution vers l'état stationnaire homogène en utilisant l'inégalité d'entropie. On obtient de plus une estimation du taux de convergence grâce à une inégalité de Sobolev logarithmique discrète.

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L'érosion hydrique est un phénomène naturel qui représente un risque important pour les espaces agricoles et les zones situées à l'aval: pertes en terre, coulées de boue, turbidité et pollution des eaux. L'érosion des sols résulte de nombreux processus qui jouent au niveau de trois phases: le détachement des particules, le transport solide et la sédimentation. La modélisation de ces processus se situe aux interfaces de domaines scientifiques variés et nécessite une approche multidisciplinaire. Le modèle à base physique, basé sur le principe de conservation, est reconnu comme un outil efficace pour prédire ce phénomène. L'objectif global de ce travail est d'étudier une modélisation multi échelle et de développer une méthode adaptée pour la simulation numérique du processus d'érosion à l'échelle du bassin versant.

Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle approche aux méthodes Volumes Finis d'ordre très élevé pour les systèmes de lois de conservation que j'ai développée durant ma thèse. Dénommée MOOD pour Multi-dimensional Optimal Order Detection, elle se base sur un traitement a posteriori (par décrémentation locale de l'ordre du schéma) des problèmes numériques engendrés par l'ordre élevé (phénomènes de Gibbs, création de valeurs non physiques...) contrastant ainsi avec les limitations a priori des méthodes classiques MUSCL ou WENO. Cette approche permet d'obtenir facilement des propriétés qui sont habituellement difficiles à prouver dans le cadre multi-dimensionel non-structuré (préservation de la positité par exemple). Pour finir je montrerai un ensemble de tests numériques 2D et 3D qui ont démontré la qualité de la méthode MOOD et son gain en termes de ressources informatiques (CPU et mémoire) par rapport aux méthodes déjà existantes.

Afin de déterminer le rang d'une matrice inconnue, on peut tester si elle est de rang m ou plus (pour m=0,1,....). Possédant un estimateur de la matrice, on utilise une statistique égale à la distance entre l'estimateur et la sous-variété des matrices de rang m. La loi asymptotique d'une telle statistique, sous certaines conditions, est un chi2 pondéré. Un test statistique classique compare la valeur de la statistique à un quantile de sa loi asymptotique afin de rejeter ou non l'hypothèse nulle. Une deuxième possibilité est de comparer la statistique à un quantile calculé par bootstrap. Cette deuxième option est préférable car bien souvent la loi de la statistique est plus proche de sa loi bootstrap que de sa loi asymptotique (voir par exemple livre de P. Hall, Bootstrap and Edgeworth expansion). Dans le cas de l'estimation de rang, les statistiques utilisées résultent d'une optimisation sous contrainte et il n'existe pas de procédure bootstrap générale. Nous présentons, dans un premier temps, le bootstrap contraint qui est une méthode permettant de reproduire la loi d'estimateurs contraints. En particulier, nous démontrons la consistance du test d'appartenance à une sous-variété sous des hypothèses aussi faibles que celles nécessaires au test classique. Dans une seconde partie, on s'intéresse à l'estimation du rang d'une matrice par test d'hypothèse. Plus précisément, on applique les résultats de la première partie afin d'obtenir le bootstrap de trois statistiques issues de cette littérature. Enfin nous proposons une application à la réduction de la dimension en régression. (Travail en collaboration avec Bernard Delyon.)

Titre : Theory and applications of reaction-diffusion equations

Reaction-diffusion equations describe numerous applications, such as flame propagation, tumour growth or competition of species in population dynamics. After a short introduction to the theory of reaction-diffusion equations, we will discuss reaction-diffusion waves in more detail. From the mathematical point of view, they represent solutions of elliptic boundary value problems in unbounded domains. The classical theory of elliptic partial differential equations will be recalled and some recent developments will be presented.

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On construit des graphes entiers et anneaux dans H^2xR de courbure moyenne constante 1/2 par déformation d'exemples de révolution. Ces déformations viennent avec un contrôle du comportement asymptotique. Les graphes entiers vérifient une propriété de demi-espace dont on déduit un résultat d'unicité par rapport au comportement asymptotique. D'autre part, on obtient l'existence d'anneaux asymptotiquement de révolution mais dont les bouts ont des axes différents.

Travail en collaboration avec Andrew Clarke (IMPA) et Yuji Sano (Kumamoto University). Les métriques de Kähler à courbure scalaire constante (CSCK) ou extrémales peuvent être définies comme les points critiques de fonctionnelles de Mabuchi. D'après les travaux de Donaldson, on sait qu'une métrique de Kähler à courbure scalaire constante sans automorphisme est la limite d'une suite de métriques projectives dites équilibrées. Le formalisme des métriques \sigma-équilibrées de Sano généralise celui des métriques équilibrées dans le cadre de la recherche des métriques extrémales. On démontre que ce contexte, et les techniques développées par Donaldson, permettent de montrer que si $(X,L)$ est polarisée extrémale, alors la métrique extrémale atteint le minimum de la fonctionnelle de Mabuchi relative à l'action du champ extrémale. L'existence d'une borne inférieure pour cette fonctionnelle est aussi étendue aux petites déformations complexes préservant l'action. Les arguments employés ici sont élémentaires par rapport aux technologies développées par Mabuchi d'une part, et Chen et Tian d'autre part. On en discutera les différences, avantages et inconvéniants