Le Colloquium Virginie BONNAILLIE-NOËL (Université de Rennes 1 et ENS Cachan-Bretagne) aura lieu le jeudi 20 décembre à 17h00 - Salle de Séminaires.

Titre : Influence de la géométrie sur l’apparition de la supraconductivité

Résumé

Après une brève présentation du phénomène physique, nous introduirons la théorie de Ginzburg-Landau qui permet de modéliser la supraconductivité. Nous nous attacherons plus précisément à déterminer le champ critique d’apparition de ce phénomène et comprendre comment la géométrie du matériau modifie ce champ. Pour cela, il s’agit d’établir l’asymptotique des premiers modes propres de l’opérateur de Schrödinger avec champ magnétique pour certaines géométries modèles. Nous présenterons des résultats théoriques et numériques en dimension 2 et 3.

Affiche

D'après un célèbre théorème de Gromov, un groupe de type fini à croissance polynomiale est virtuellement nilpotent. Nous discuterons d'une version "géométrique" de ce théorème, conséquence d'un résultat récent de Breuillard, Green et Tao. Nous en déduirons le résultat suivant, obtenu en collaboration avec Benjamini et Finucane: Soit une suite de graphes finis dont le volume croît au plus polynomialement par rapport au diamètre. Alors la suite d'espaces métriques de diamètre 1 obtenus en renormalisant la distance est relativement compacte pour la distance de Gromov-Hausdorff. De plus les points d'accumulation sont des tores munis d'une métrique invariante finslerienne.

Nous définirons les réflexions et changement de médium dans un espace vectoriel muni d'une norme faible (non symétrique). Nous présenterons les constructions qui en découlent. Ensuite nous verrons que l'on peut munir l'espace de dimension trois d'une norme tel qu'il existe une surface compacte qui n'admette pas de courbure de Ricci synthétique. Ceci est à mettre en rapport avec le fait qu'un espace vectoriel normé de dimension fini admet une courbure de Ricci positive d'après Villani (travail en collaboration et en cours avec J.-C. Àlvarez-Paiva).

La torsion anaylytique de Ray-Singer est un invariant riemannien des variétés compactes, et le théorème de Cheeger-Müller la relie à un invariant combinatoire (la torsion de Reidemeister). Pour des variétés de volume fini non-compactes la torsion analytique n'est pas définie à cause de la présence de spectre continu pour le laplacien. Pour des variétés hyperboliques on peut utiliser la formule des traces pour contourner ce problème. Il reste ensuite à énoncer et démontrer un analogue au théorème de Cheeger-Müller.

Suivant la section 4 de l'article de Getzler, on se propose de montrer que l'ensemble simplicial MC(g) associé à une algèbre L∞ nilpotente g est un ensemble simplicial de Kan ; on évoquera aussi, brièvement, quelques autres propriétés du foncteur MC.

Notes

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