La symplectisation d'une variété de contact $M$ est une variété symplectique $SM$ difféomorphe à $\R \times M$. Question : si $SM$ et $SM'$ sont symplectomorphes, $M$ et $M'$ sont-elles alors contactomorphes ?

Dans cet exposé, on verra que la réponse est non et on construira des contre-exemples en grande dimension à partir de $h$-cobordismes non triviaux et des propriétés de flexibilité de certains cobordismes symplectiques.

Nous nous intéressons à la résolution de problèmes inverses provenant d'une modélisation multi-échelle de l'écoulement de l'air dans les poumons. Dans un premier temps, nous considérons une version simplifiée du modèle de l'écoulement de l'air dans les poumons : l'écoulement est modélisé par les équations de Stokes incompressibles avec des conditions aux limites de type Robin sur une partie du bord. Nous cherchons à identifier le coefficient de Robin défini sur une partie non accessible du bord à partir de mesures de la vitesse et de la pression disponibles sur une autre partie du bord.
Après avoir quantifié des résultats de continuation unique pour le système de Stokes, nous établissons une inégalités de stabilité logarithmique. Ce résultat est basé sur des inégalités de Carleman locales. De plus, sous l'hypothèse a priori que le coefficient de Robin est constant par morceaux, nous prouvons une inégalité de stabilité Lipschitzienne pour le problème stationnaire. Nous concluons, en revenant au problème initial pour lequel nous imposons des conditions au bord non-standard faisant intervenir le flux. En particulier, nous obtenons des premiers résultats numériques encourageants concernant l'identification de certains paramètres du modèle (résistances à l'écoulement de l'air, élasticité des tissus).

La question que le problème de Yamabe pose est la suivante :
Etant donnée une variété Riemannienne compacte (M,g) de dimension n >= 3, trouver une métrique conforme avec courbure scalaire constante.
C'est un problème classique de l'analyse géométrique qui a été résolu en une vingtaine d'années grâce à l'effort de plusieurs mathématiciens(Yamabe, Trudinger, Aubin, Schoen, Yau...).

Dans l'exposé, on donnera les notions de base nécessaires à la compréhension de la formulation du problème et les idées générales de sa résolution. En particulier, on se concentrera sur les aspects analytiques (espaces de Sobolev sur les variétés, méthode variationnelle) et sur les différences entre dimensions hautes (n>= 6) et petites.
Enfin, on parlera succinctement de quelques résultats plus récents sur le cas non compact des variétés avec singularités cylindriques.

Le théorème de Gromov-Eliashberg affirme que toute limite C^0 d'une suite de symplectomorphismes est symplectique. Cette rigidité a ouvert la voie à la géométrie symplectique C^0 qui étudie les analogues continus des objets classiques. Un résultat fondateur de la dynamique hamiltonienne C^0 a été l'unicité des "générateurs": toute fonction hamiltonienne continue qui est la limite uniforme d'hamiltoniens, dont les flots convergent vers l'identité, est nécessairement nulle. Je vais expliquer une généralisation de ce résultat où la distance C^0 est remplacée par d'autres distances naturelles ainsi que certaines de ses conséquences. Ceci résulte d'une collaboration avec V. Humilière and S. Seyfaddini.

Recent progress on the nearby Lagrangian conjecture has revealed that a closed (compact without boundary) exact Lagrangian in a cotangent bundle is homotopy equivalent to the base. Another recent result by Abouzaid has shown that for some spheres it in fact has to be diffeomorphic to the base. There is, however, a similar question of interest yet in a slightly different direction. Since Lagrangian immersions satisfies an h-principle they are easy to classify, and odd dimensional spheres has an infinite number of classes up to regular isotopy. However, the question: which immersions classes admits an embedded representative is hard. In this talk I will present some current work with Abouzaid using stable homotopy types in place of symplectic homology to partially answer this question for spheres.

Je démontrerai le résultat suivant, "préliminaire" aux travaux de Schoen et Wolfson : Soit (M, \omega, J) une variété kählérienne et $f : S^2 -> M^4$ une immersion lisse. Alors f est homotope à une immersion lagrangienne ssi les deux conditions suivantes sont vérifiées : - [f^\omega] = 0 en cohomologie - [f^]c_1(M) = 0,

où c1(M) es la classe de Chern de \Lambda^{2,0}J(M).