L'Analyse Topologique des Données (TDA) est un domaine récent qui connaît un succès croissant depuis quelques années. Il vise à comprendre, analyser et exploiter la structure topologique et géométrique de données complexes. Avec l'émergence de la théorie de la persistance homologique, la géométrie et la topologie ont fourni des outils mathématiques nouveaux et efficaces pour aborder ces questions. Dans cet exposé, nous introduirons quelques outils permettant de construire des descripteurs robustes de la topologie des données. Nous nous intéresserons à leurs propriétés (stabilité, statistiques) et nous illustrerons, sur quelques exemples applicatifs concrets, l’intérêt des approches topologiques pour l’analyse des données et l’apprentissage statistique.

Je présente une notion de configuration test et de stabilité (pour la fonctionnelle de Ding) pour des variétés dont le fibré anticanonique est gros, c'est-à-dire quand les sections des puissances de -K_X ont une croissance maximale, mais peuvent avoir des points-base. Pour ce faire, j'utilise le formalisme des espaces de Zariski-Riemann. J'explique ensuite comment cette notion de stabilité est liée à l'existence de métriques Kähler--Einstein singulières. Ces résultats sont basés sur un travail en commun avec Ruadhaí Dervan.

This talk aims at introducing a new multi-frequency method to reconstruct width defects in waveguides. Different inverse methods already exist. However, those methods are not using some frequencies, called resonant frequencies, where propagation equations are known to be ill-conditioned. Since waves seem very sensible to defects at these particular frequencies, we exploit them instead. After studying the forward problem at these resonant frequencies, we approximate the wavefield and focus on the inverse problem. Given partial wavefield measurements, we reconstruct slowly varying width defects in a stable and precise way and provide numerical validations and comparisons with existing methods.

Heterogeneous problems that take place at multiple scales are ubiquitous in science and engineering. Examples are wind turbines made from composites or groundwater flow relevant e.g., for the design of flood prevention measures. However, finite element or finite volume methods require an often prohibitively large amount of computational time for such tasks. Multiscale methods that are based on ansatz functions which incorporate the local behavior of the (numerical) solution of the partial differential equations (PDEs) have been developed to tackle these heterogeneous problems. Localizable multiscale methods that allow controlling the error due to localization and the (global) approximation error at a (quasi-optimal) rate and do not rely on structural assumptions such as scale separation or periodicity have only been developed within the last decade. Here, localizable multiscale methods allow the efficient construction of the basis functions by solving the PDE (in parallel) on several small subdomains at low cost.

While there has been a significant progress in recent years for these types of multiscale methods for linear PDEs, very few results have been obtained so far for nonlinear PDEs. In this talk, we will show how randomized methods and their probabilistic numerical analysis can be exploited for the construction and numerical analysis of such types of multiscale methods for nonlinear PDEs.

Les invariants complexes obtenus par l’énumération des courbes de genre g fixé dans une classe donnée passant par g points génériques dans une surface abélienne donnée diffèrent grandement des invariants correspondants dans le plan complexe. Bien que les valeurs pour les classes dites « primitives » soient connues depuis un certain temps, le calcul des valeurs pour les autres classes peut s’avérer particulièrement retors. L’approche tropicale permet de montrer une formule surprenamment courte donnant les valeurs et permettant d’occulter toute énumération concrète (et potentiellement longue et fastidieuse).

We consider a tropical analogue to the following question: given a smooth complex algebraic curve X of even genus 2g', how many isomorphism classes of non-constant rational maps f : X → ℂℙ¹ with deg f = g' + 1 are there? In this talk we introduce the relevant tropical objects and sketch a proof that, with the appropriate multiplicity, the tropical count coincides with the classical count. The main idea is to organize both the tropical maps and the tropical curves into moduli spaces, and prove that the space of maps covers the space of curves. The desired number is then the degree of this branched covering. By looking at a particular fiber in the covering, a fiber related to chains of loops, this count is calculated to be a number that appears frequently in combinatorics.

Dans cet exposé, nous étudions la topologie réelle des dégénérescences semi-stables totalement réelles. Le résultat principal est une borne pour les nombres de Betti individuels d'une fibre réelle lisse en termes de la géométrie complexe de la fibre dégénérée. L'ingrédient principal est l'utilisation de la géométrie logarithmique réelle, qui permet d'étudier dégénérescences qui ne sont pas nécessairement toriques, et donc de dépasser le cas de dégénérescences tropicales lisses, étudié par Renaudineau-Shaw. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Matilde Manzaroli.

Nous considérons comme ingrédients une grassmannienne complexe G(d,n) et une classe L dans son groupe d'homologie. Nous nous intéressons au problème de trouver des sous-variétés algébriques (sous-schémas fermés intégraux) de G(d,n) de classe d'homologie L, mais qui sont aussi invariantes sous l'action du tore maximal T de G(d,n).

Nous verrons que ce problème est gouverné par des objets discrets appelés matroïdes, et nous le résoudrons complètement pour le cas des T-orbites.

Puis nous étudierons le même problème pour la Grassmannienne symplectique de droites SpG(2,2n), qui est gouvernée par des objets discrets appelés matroïdes symplectiques de rang 2.

Ces résultats font partie d'un travail conjoint avec Pedro Luis del Ángel, Javier Elizondo, Alex Fink et Felipe Zaldivar.