Une variété définie sur le corps des nombres réels est dite maximale si l'inégalité de Smith-Thom est une égalité, i.e. la somme des nombres de Betti (à F_2-coefficient) du lieu réel est égale à celle du lieu complexe. Je présenterai plusieurs constructions de variétés réelles maximales en prenant certains espaces de modules des cycles ou des faisceaux sur une variétés de petite dimension. Les exemples comprennent notamment les espaces de modules des fibrés (usuels, paraboliques, ou de Higgs) stables sur une courbe réelle maximale, les schémas de Hilbert des points d'une surface rationnelle maximale etc. L'exposé est basé sur mon travail récent arXiv: 2303.03368.

We consider a semiclassical linear Boltzmann model with a non local collision operator. We provide sharp spectral asymptotics for the small spectrum in the low temperature regime from which we deduce the rate of return to equilibrium as well as a metastability result. The main ingredients are resolvent estimates obtained via hypocoercive techniques and the construction of sharp Gaussian quasimodes through an adaptation of the WKB method.

L’intégrale de la courbure moyenne au carré est un invariant conforme des surfaces ré- introduit par Willmore en 1965 dont l’étude eut une influence considérable sur l’analyse géométrique et en particulier sur les surfaces minimales ces dernières années. D’autre part, l’énergie de Loewner introduite par Yilin Wang en 2015 est une énergie invariante conforme des courbes planes, qui est liée aux processus SLE et à la classe de Weil-Petersson apparaissant en théorie de Teichmüller (universelle). Dans cet exposé, après une courte introduction historique, nous parlerons de récents développements liant l’énergie de Willmore et l’énergie de Loewner et ferons mention de nombreux problèmes ouverts. Travail en collaboration avec Yilin Wang (IHÉS)

Le point de départ de l'exposé sera une question à l'interface des probabilités et de la géométrie : "étant donnée une variété riemannienne, existe-t-il une géométrie aléatoire naturelle sur cette variété?". Dans le cas de la dimension deux, on sait donné une réponse assez complète à la question si l'on impose un critère d'invariance conforme dans la définition de "naturelle" grâce à des travaux sur la 'Liouville quantum gravity' par de nombreux auteurs. Je présenterai mes travaux récents avec L. Dello Schiavo, E. Kopfer et K-T. Sturm qui donnent des réponses partielles à la question en dimension paire ≥ 2 sur des variétés compactes ainsi que les nombreuses questions. Je me concentrerai, dans cet exposé, sur les aspects géométriques de ce travail.

Un phénomène surprenant existe autour de l'ensemble de Cantor triadique: la loi de Cantor (la "mesure uniforme sur le Cantor") a pour fonction de répartition le célèbre escalier du diable, qui s'avère être $\frac{\log 2}{\log 3}$-Hölderienne. C'est la dimension de Hausdorff de l'ensemble de Cantor. De plus, la transformée de Fourier de cette mesure s'avère décroitre comme $|\xi|^{-\frac{\log 2}{\log 3}}$ "en moyenne". Ce n'est pas une coïncidence, et est un indice vers un lien plus profond entre la géométrie des fractales et l'analyse de Fourier. Dans cette présentation nous détaillerons une partie de ce lien à travers la notion de dimension de Fourier. Nous discuterons de l'état de l'art et de quelques résultats récents: la dimension de Fourier d'un ensemble de Julia hyperbolique est positive.

Depuis un résultat d'Hilbert-Effimov, nous savons que nous ne pouvons pas plonger isométriquement le plan hyperbolique dans l'espace euclidien de dimension 3 de manière C^2. En revanche, le théorème de plongement isométrique C^1 de Nash-Kuiper établit l'existence d'une infinité de tels plongements. Dans cet exposé nous verrons la construction explicite d'un plongement isométrique du disque de Poincaré, et nous donnerons des résultats sur le "bord à l'infini" de ce type de plongement. Ce travail a été fait en collaboration avec l'équipe Hévéa.

On étudie le complété pour la métrique spectrale de l'espace des Lagrangiens d'une variété symplectique. On montre en particulier que les éléments de ce complété ont un support, et -- dans un travail commun avec M.-C. Arnaud et V. Humilière -- que dans le cas d'une dynamique dissipative ils fournissent un ensemble invariant qui généralise en dimension quelconque l'ensemble de Birkhoff pour les difféomorphismes dissipatifs de l'anneau.