La conjecture de Yau-Tian-Donaldson prédit que l'existence d'une métrique extrémale (au sens de Calabi) dans une classe de Kähler donnée d'une variété kählérienne est équivalente à une certaine notion de stabilité algébro-géométrique de cette classe. Dans cet exposé, nous discuterons d'une résolution de cette conjecture pour une certaine classe de fibrations toriques, appelée fibrations toriques principales semisimples. Après avoir introduit le problème de Calabi pour des variétés kählériennes générales, nous nous concentrerons sur le cas torique. Nous introduisons alors la notion de stabilité pertinente dans notre contexte et nous expliquerons la construction des fibrations principales semisimple toriques. Finalement nous énoncerons notre résultat d'existence principal et nous discuterons des éléments de preuve. En particulier, nous verrons comment réduire le problème de Calabi sur l'espace total de la fibration à un problème à courbure scalaire constante pondérée sur les fibres toriques. (arXiv:2108.12297).

La simulation numérique peut être vue comme une retranscription informatique de modèles mathématiques, engendrant des codes de plus en plus complexes, à mesure que les modèles se complexifient. Cela peut nécessiter un savoir-faire que le chercheur en mathématiques ou physique n'a pas nécessairement. Ainsi cet exposé présentera le métier d'ingénieur de recherche dans le cadre du calcul scientifique.

Un système hamiltonien qui possède un point invariant elliptique non résonnant admet un invariant de conjugaison formel (au sens des séries formelles), sa forme normale de Birkhoff en ce point. Le système hamiltonien est ainsi formellement conjugué à sa forme normale de Birkhoff. Si cet invariant formel ainsi que la conjugaison formelle avaient une existence réelle cela aurait pour conséquence qu’au voisinage du point fixe toute orbite serait quasi-périodique, ce que l’on sait être faux depuis les travaux de Poincaré. Néanmoins, bien que formelle, cette forme normale de Birkhoff joue un rôle fondamental dans la compréhension de la dynamique du hamiltonien au voisinage du point fixe. Couplée à la théorie KAM (pour Kolmogorov, Arnold,Moser), elle permet de démontrer dans de nombreuses situations l’existence d’un ensemble de mesure positive de tores invariants quasi-périodiques au voisinage de l’équilibre. Une question naturelle est de comprendre dans quelle mesure la régularité analytique du hamiltonien renforce l’influence de la forme normale de Birkhoff sur la dynamique du système.

Suite aux travaux pionniers de Bourgain en 1996, puis de Burq et Tzvetkov en 2008, une approche statistique des équations dispersives non linéaires s'est considérablement développée dans une variété de contextes.

Nous nous intéressons ici aux équations de Schrödinger avec une non-linéarité cubique (NLS) dans $\mathbb{R}^d$. Après avoir rappelé la théorie de Cauchy probabiliste développée par Bényi, Oh et Pocovnicu en 2015 dans des régimes sur-critiques, nous précisons l'instabilité par « inflation de normes » qui se produit dans de tels régimes.

La deuxième partie est consacrée à la dynamique en temps long pour les solutions associées à ces données initiales aléatoires. Nous démontrons un résultat de scattering qui s'appuie sur une version probabiliste de la I-méthode et qui permet en outre de résoudre statistiquement la conjecture de scattering pour NLS en dimension 3.

Enfin, nous présentons des développements récents dans des régimes quasi-linéaires, qui ont été initiés par Bringmann en 2019 et que nous exploitons pour exhiber des solutions fortes à certaines équations faiblement dispersives. Ce dernier résultat est en collaboration avec Louise Gassot et Slim Ibrahim.

Introduite par Toën en 2013, l'action de membranes associe à toute ∞-opérade cohérente O une structure de O-algèbre sur l’espace des extensions de l’identité. Pour certaines ∞-opérades d'origine géométrique, cette construction abstraite reproduit des structures algébriques importantes. Par exemple, appliquée à l'opérade des petits disques de dimension n, l'action de membranes reproduit une partie des opérations algébriques sur les espaces de morphismes depuis la sphère de dimension n-1, tel qu'étudié en topologie des cordes. Des travaux de Mann–Robalo ont également montré comment l'exemple de l'opérade des courbes stables encode les invariants de Gromov–Witten, via cette même construction. Mon exposé sera une introduction à ces idées, jusqu'à mes résultats de thèse qui permettent d'étendre l'action de membranes à de nouveaux exemples géométriques.

Dans cet exposé, après avoir défini le champ de Teichmüller d'une variété compacte complexe, je m'interrogerai sur les pathologies qu'il peut exhiber et qui en font un objet parfois très éloigné d'un espace analytique. Grâce à la dualité de points de vue que permet le formalisme des champs, ces pathologies sont également des pathologies des familles de variétés complexes. Il s'agit d'un travail en cours.