Partitioned braid groups (sometimes called "mixed braid groups") are subgroups of the braid group standing between the pure braid group Pn and the whole braid group Bn. On the one hand, the lower central series of Bn is almost trivial. On the other hand, the lower central series of Pn is a very rich object, encoding finite type invariants of braids. As a consequence, one can expect partitioned braid groups to display a range of intermediate behaviors, and this is indeed what we observe. In this talk, we will explore these different behaviours and give an answer to the first question one can ask about these lower central series: when do they stop? Even this simple question turns out to be a difficult one, especially when one considers its generalization to braids on surfaces. However, we will be able to answer it almost completely, leaving open only some cases of partitioned braids on the projective plane.

Résumé d'HDR

Manuscrit d'HDR

Dans cet exposé, j'expliquerai brièvement comment construire des proxys de la fonction distance à un compact, à partir d'un nuage de points générés sur ce compact, avec du bruit. Ces proxys seront construits à partir d'un critère de type k-means. Leurs sous-niveaux seront des unions de boules ou d'ellipsoïdes.

J'introduirai également la notion géométrique de dimension de Vapnik-Chervonenkis, présenterai son calcul dans le cas particulier de certaines familles d'ellipsoïdes, et son application statistique pour les proxys.

Il s'agit de travaux en cours et de travaux publiés dans : - Claire Brécheteau and Clément Levrard, A k-points-based distance for robust geometric inference. Bernoulli 2020, Vol. 26, No. 4, 3017-3050 - Claire Brécheteau, Robust anisotropic power-functions-based filtrations for clustering. Symposium on Computational Geometry 2020, 23:1-23:15

Concernant la dimension de Vapnik-Chervonenkis, on pourra se référer aux travaux : - Yohji Akama, Kei Irie, Akitoshi Kawamura, Yasutaka Uwano, VC Dimensions of Principal Component Analysis, Discrete Comput Geom (2010) 44: 589–598

In the limit of vanishing but moderate external magnetic field, we derived a few years ago together with S. Conti, F. Otto and S. Serfaty a branched transport problem f rom the full Ginzburg-Landau model. In this regime, the irrigated measure is the Lebesgue measure and, at least in a simplified 2d setting, it is possible to prove that the minimizer is a self-similar branching tree. In the regime of even smaller magnetic fields, a similar limit problem is expected but this time the irrigation of the Lebesgue measure is not imposed as a hard constraint but rather as a penalization. While an explicit computation of the minimizers seems here out of reach, I will present some ongoing project with G. De Philippis and B. Ruffini relating local energy bounds to dimensional estimates for the irrigated measure.

Dans cet exposé, je vais vous raconter comment à des polytopes suffisamment sympathiques et à d'autres objets combinatoires on a associé des variétés complexes qui leur ressemblent, comment cela a permis d'élucider des propriétés remarquables de ces objets via la théorie de Hodge classique (qui étudie la structure cohomologique des variétés complexes), comment, lorsque ces objets ne sont plus si sympathiques, il a fallu développer la théorie de Hodge combinatoire en faisant comme si une variété complexe adéquate était associée à ces objets, et comment, en réalité, on peut bien leur associer une variété adéquate mais une variété tropicale. Ce sera l'occasion de (re)découvrir polytopes, variétés toriques, matroïdes, éventails, théories de Hodge, hypercorps tropical, etc.