We consider the long-time behavior of a fast, charged particle interacting with an initially spatially homogeneous background. We model the background by the screened Vlasov-Poisson equations, whereas the interaction potential of the point charge is assumed to be smooth. We prove the validity of the stopping power theory in physics which predicts a decrease of the velocity $V(t)$ of the point charge given by $\dot{V} \sim -|V|^{-3} V$. Our result holds for all initial velocities larger than a threshold value that is larger than the velocity of all background particles and remains valid until (i) the particle slows down to the threshold velocity, or (ii) the time is exponentially long compared to the velocity of the point charge.

The long-time behavior of this coupled system is related to the question of Landau damping that has remained open in this setting so far. Contrary to other results in nonlinear Landau damping, the long-time behavior of the system is driven by the non-trivial electric field of the plasma, and the damping only occurs in regions that the point charge has already passed.

Joint work with Raphael Winter (University of Vienna)

Les solutions des systèmes hyperboliques contiennent des discontinuités. Ces solutions faibles vérifient non seulement les EDP de départ, mais aussi une inégalité d'entropie qui agit comme un critère de sélection déterminant si une discontinuité est physique ou non. Il est très important d'obtenir une version discrète de ces inégalités d'entropie lorsqu'on approxime numériquement les solutions, sans quoi le schéma est susceptible de converger vers des solutions non physiques ou pire d'être instable. Obtenir une inégalité d'entropie discrète est en général un travail difficile, souvent inatteignable pour des schémas d'ordre élevé. Dans cet exposé, je présenterai une approche où ces inégalités sont obtenues a posteriori en minimisant une fonctionnelle bien choisie. La difficulté principale est de prendre en compte la notion de consistance. Cette méthode permet d'obtenir des "cartes de diffusion numérique" pour des schémas d'ordre quelconque. Elle permet aussi de trouver, par une autre procédure d'optimisation, la pire donnée initiale vis à vis de l'entropie. C'est un travail en collaboration avec Emmanuel Audusse, Vivien Desveaux et Julien Salomon

L'homologie de Heegaard Floer est un invariant de variétés de dimension trois closes défini par une homologie de Floer d'intersection lagrangienne dans le produit symétrique d'une surface de Heegaard. Je montrerai que à toute variété à bord on peut associer un objet dans l'enveloppe triangulé de la catégorie de Fukaya compacte d'un produit symétrique du bord et que, étant donnée une variétés de dimension trois séparée en deux morceaux par une surface, son homologie de Heegaard Floer est isomorphe à l'homologie des morphismes entre les objets associés aux deux morceaux. Comme application, je montrerai que la mutation de genre deux ne change pas l'homologie de Heegaard Floer. Il s'agit d'un travail en cours en collaboration avec Ina Petkova.

Travail en commun avec Nicolas Vichery.

Dans les années 90 Claude Viterbo a introduit des "invariants spectraux" pour une lagrangienne exacte L dans le cotangent d'une variété compacte M et, à partir de ces invariants, une norme pour L. Il a aussi conjecturé que, si on munit M d'une métrique et que L est dans le fibré en boules de rayon 1 du cotangent, alors la norme spectrale de L est bornée indépendamment de L (au moins si M est un tore).

J'expliquerai une preuve de cette conjecture lorsque M est un quotient d'un groupe de Lie compact. Notre méthode utilise la théorie microlocale des faisceaux de Kashiwara-Schapira et une bonne partie de l'exposé sera une présentation de cette théorie et de ses liens avec la géométrie symplectique.

La notion de stabilité est centrale dans le problème de classification des fibrés holomorphes sur une variété projective donnée. On s'intéresse dans cet exposé au comportement de la stabilité sous pullback par un morphisme entre variétés. Dans le cas d'une immersion générique de grand degré, un théorème de Mehta et Ramanathan stipule que le pullback d'un fibré (semi)stable reste semi(stable). On étudiera alors le cas des submersions, dans deux contextes. Le premier, lisse, via des méthodes de géométrie différentielle et l'étude des connexions Hermite-Yang-Mills (en collaboration avec Lars Martin Sektnan). Le deuxième, singulier et torique, via des méthodes combinatoires et algébriques (en collaboration avec Achim Napame)

Après divers rappels sur les notions intervenant dans mon exposé, j'introduirai une notion de décomposition en anses pincées des complexes simpliciaux finis et en montrerai l'existence après subdivisions stellaires en des facettes. Ces décompositions généralisent les effeuillages classiques des bords de polytopes convexes par exemple. Par ailleurs, toute fonction de Morse discrète induit une telle décomposition sur la deuxième subdivision barycentrique tandis qu'inversement chaque décomposition en anses pincées encode elle-même une famille de fonctions de Morse discrètes compatibles.