In this talk I will define Gaussian random fields on manifolds and study their topological and geometric properties.

The first main result is a probabilistic version of Thom transversality theorem - a necessary lubricant for the generic argument in Differential Topology (it is a more general version of Sard's theorem) - that allows to change the word "generic" to "almost every" in almost every situations.

Secondly, I will address the problem of describing the asymptotic behaviour of a sequence of Gaussian Random Fields. The prototypical example is a sequences of random (Kostlan) polynomials having {degree $\to\infty$}.

I will present a general method to deal with the limit probability of differential geometric events (for instance: the probability of having a critical point inside a certain domain; the probability that a level set is diffeomorphic to some fixed closed manifold; etc.) and apply it to the case of Kostlan polynomials to obtain a generalization of the results by Gayet and Welschinger. Time permitting, I will discuss how to study the expected topology (Betti numbers) of singular sets.

A plane real algebraic curve is said to be hyperbolic with respect to a real point if every real line going through that point intersect the curve in a maximal number of real points, counted with multiplicities. Using tools of (real) tropical intersection theory, we give a combinatorial characterisation of hyperbolic plane curves near the non-singular tropical limit, and explore several questions around the tropical analogue of the hyperbolicity locus.

On considère une équation de transport par un champ de gradient avec une petite perturbation visqueuse. On étudie des propriétés d’observabilité uniforme dans la limite (singulière) de viscosité évanescente. On montre avec une série d’exemples que le temps minimal pour l’observabilité uniforme peut être bien plus grand que le temps minimal pour l’équation limite. On montre aussi que les deux temps minimaux coïncident pour les solutions positives. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Camille Laurent.

Peut-on déterminer la métrique d'un trou noir en observant des ondes aux infinis de la variété ? Dans cet exposé, je répondrai par la positive à cette question à travers l'exemple de trous noirs de Kerr-Newmann-de-Sitter, une classe de solutions exactes des équations d'Einstein décrivant un trou noir massif, électriquement chargé et en rotation. Dans un premier temps, je décrirai brièvement la géométrie de ces espaces-temps, puis la matrice de diffusion associée à des champs de Dirac sans masse se propageant dans cette variété. Dans une deuxième partie, je montrerai que la matrice de diffusion à une énergie fixée permet de déterminer uniquement un trou noir de Kerr-Newmann-de-Sitter. Ce résultat a été obtenu en collaboration avec François Nicoleau.

Le théorème de rigidité symplectique d'Eliashberg-Gromov affirme que la limite d'une suite de symplectomorphismes convergeant au sens C^0 vers un difféomorphisme est encore un symplectomorphisme. Ce résultat suggère que l'essence de la géométrie symplectique peut se transposer sur un modèle topologique, et donc par extension sur un modèle PL. Après avoir dressé un bref cadre historique de cette géométrie symplectique PL, nous discuterons d'un résultat de flexibilité quant au immersion lagrangienne dans le cas lisse, ce qui nous conduira à présenter une construction permettant d'approcher un tore lagrangien lisse par une surface PL lagrangienne au sens C^1.