Dans cet exposé, nous nous intéresserons à des questions du type "quelle est la probabilité qu'un entier naturel pris au hasard satisfasse une certaine propriété ?". Par exemple : est-il probable qu'un entier soit sans facteur carré ? Hélas, nous montrerons qu'il n'existe pas de mesure de probabilité sur les entiers qui permette de traiter ce type de questions en préservant l'intuition naturelle qui nous dit qu'un entier sur deux est pair, un entier sur trois est divisible par trois etc. Nous devons donc raisonner en terme de proportion d'entiers satisfaisant notre propriété parmi les N premiers entiers, puis laisser N tendre vers l'infini. Cependant, il ne faut pas croire que tout devient alors un problème de comptage suivi d'un équivalent asymptotique. Au contraire, cette approche donne naissance à des questions intéressantes d'un point de vue strictement probabiliste, et qui apparaissent très naturellement dans le contexte de ces problèmes.

On exposera en premier lieu la définition d’un schéma numérique quand l’Equation aux Dérivées Partielles à résoudre contient une condition de bord. Ensuite, on étudiera la stabilité de ce schéma, notion centrale dans l’analyse de convergence du schéma. Pour cela, on commencera par une première approche utilisant l’algèbre linéaire et l’étude des valeurs propres de la matrice représentant le schéma. Puis, dans une deuxième approche, on expliquera la théorie GKS qui étudie les valeurs spectrales d’un opérateur de dimension infinie. Enfin, on verra un outil numérique s’appuyant sur l’indice complexe d’une courbe algébrique qui permet de conclure sur la stabilité du schéma numérique.

Le système point vortex est un système d'EDO issu de la mécanique des fluides. Nous verrons comment le bord du domaine influe sur cette dynamique, et comment l'on peut exploiter les propriétés des fonctions de Green pour décrire le mouvement. En particulier, nous verrons que les collisions sont improbables dans les domaines à bord. La preuve mélange probabilités, équations elliptiques et transformations conformes.

La méthode des champs de vecteurs est une approche robuste permettant d'obtenir des estimations de décroissance pour les solutions d'équations d'ondes ou de Vlasov. Elle s'appuie sur le caractère géométrique de ces équations et a permis de traiter de nombreux problèmes non-linéaires. Nous verrons ici comment l'adapter à l'équation de Vlasov sans masse linéaire sur un trou noir de type Schwarzschild. En comparaison avec l'espace-temps de Minkowski, qui est une variété plate, les difficultés proviennent du plus petit nombre de symétries, de l'horizon des évènements ainsi que des trajectoires piégées.

Determinantal Point Processes (DPPs) elegantly model repulsive point patterns. A natural problem is the estimation of a DPP given a few samples. Parametric and nonparametric inference methods have been studied in the finite case, i.e. when the point patterns are sampled in a finite ground set. In the continuous case, several parametric methods have been proposed but nonparametric methods have received little attention. In this talk, we discuss a nonparametric approach for continuous DPP estimation leveraging recent advances in kernel methods. We show that a restricted version of this maximum likelihood (MLE) problem falls within the scope of a recent representer theorem for nonnegative functions in a Reproducing Kernel Hilbert Space. This leads to a finite-dimensional problem, with strong statistical ties to the original MLE.

Reference: https://arxiv.org/pdf/2106.14210.pdf

En 1981, Polyakov dans un article fondateur propose une définition de la gravité quantique de Liouville qui peut se comprendre comme l'étude d'une notion de surface aléatoire. Cette théorie a connu de nombreux développements dans un premier temps dans la littérature physique mais aussi plus récemment au sein de la communauté mathématique, avec notamment des preuves rigoureuses de résultats prédits par la physique.

Dans cet exposé nous présenterons la formulation mathématique de la théorie de Liouville, basée sur une approche probabiliste, ainsi que les questions qui se posent dans l'étude de cette théorie. Nous évoquerons notamment les méthodes de théorie conforme des champs en dimension deux, et comment les appliquer à l'étude de la formulation mathématique de la théorie de Liouville.

Considering a Poisson process observed on a bounded, fixed interval, we are interested in the problem of detecting a transitory change in its distribution, characterised by a bump in its intensity. Formulated as an off-line change-point problem, this study aims at proposing a non-asymptotic minimax testing set-up to construct a minimax and adaptive detection procedure. In particular, we establish the minimax separation rates over various classes of alternatives, defined according to whether or not the jump position, length and/or size are known.

Les séries temporelles sont des données spécifiques par construction, dont le format traduit l'évolution d'une grandeur au cours du temps. Ces données sont largement utilisées dans de nombreux secteurs (Énergies, Banques et Assurances, Industrie 4.0, ...) mais les méthodes pour les traiter diffèrent fortement selon les cas d'usages. Cette conférence sera l'occasion de réaliser un tour d'horizon de différents cas d'usages industriels rencontrés chez Sia Partners et les méthodes que nous avons adoptées pour exploiter ces données.