Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la contrôlabilité d’une équation de Schrödinger linéaire, en 1D, sur un intervalle borné, avec un contrôle bilinéaire. Plus précisément, on se demandera si cette équation de Schrödinger est contrôlable lorsque le système linéarisé n’est pas contrôlable et la question sera alors de savoir si le terme quadratique permet ou non de rattraper les directions perdues au premier ordre. Avant d'apporter des éléments de réponse à cette question, on commencera par présenter sur des exemples en dimension finie le lien entre contrôlabilité et crochets de Lie, afin d’introduire les phénomènes de dérive présents en dimension infinie.

Many vector-borne diseases are affected by the seasonality of the environment. Yet, the influence of the periodic fluctuations of the environment on the persistence of pathogens remain unclear. We analyse a general vector-borne disease model and we show that whether seasonality has a positive or negative effect on pathogen persistence depends on which component of the pathogen's life-cycle is affected by these periodic fluctuations. We use a perturbation analysis framework to obtain useful approximations to evaluate the overall consequences of seasonality on the persistence of pathogens. These approximations allow us to better understand why seasonality in vector density or in the biting rate of the vector can have opposite effects on pathogen dynamics.

In this talk I will define Gaussian random fields on manifolds and study their topological and geometric properties.

The first main result is a probabilistic version of Thom transversality theorem - a necessary lubricant for the generic argument in Differential Topology (it is a more general version of Sard's theorem) - that allows to change the word "generic" to "almost every" in almost every situations.

Secondly, I will address the problem of describing the asymptotic behaviour of a sequence of Gaussian Random Fields. The prototypical example is a sequences of random (Kostlan) polynomials having {degree $\to\infty$}.

I will present a general method to deal with the limit probability of differential geometric events (for instance: the probability of having a critical point inside a certain domain; the probability that a level set is diffeomorphic to some fixed closed manifold; etc.) and apply it to the case of Kostlan polynomials to obtain a generalization of the results by Gayet and Welschinger. Time permitting, I will discuss how to study the expected topology (Betti numbers) of singular sets.

A plane real algebraic curve is said to be hyperbolic with respect to a real point if every real line going through that point intersect the curve in a maximal number of real points, counted with multiplicities. Using tools of (real) tropical intersection theory, we give a combinatorial characterisation of hyperbolic plane curves near the non-singular tropical limit, and explore several questions around the tropical analogue of the hyperbolicity locus.

On considère une équation de transport par un champ de gradient avec une petite perturbation visqueuse. On étudie des propriétés d’observabilité uniforme dans la limite (singulière) de viscosité évanescente. On montre avec une série d’exemples que le temps minimal pour l’observabilité uniforme peut être bien plus grand que le temps minimal pour l’équation limite. On montre aussi que les deux temps minimaux coïncident pour les solutions positives. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Camille Laurent.

Peut-on déterminer la métrique d'un trou noir en observant des ondes aux infinis de la variété ? Dans cet exposé, je répondrai par la positive à cette question à travers l'exemple de trous noirs de Kerr-Newmann-de-Sitter, une classe de solutions exactes des équations d'Einstein décrivant un trou noir massif, électriquement chargé et en rotation. Dans un premier temps, je décrirai brièvement la géométrie de ces espaces-temps, puis la matrice de diffusion associée à des champs de Dirac sans masse se propageant dans cette variété. Dans une deuxième partie, je montrerai que la matrice de diffusion à une énergie fixée permet de déterminer uniquement un trou noir de Kerr-Newmann-de-Sitter. Ce résultat a été obtenu en collaboration avec François Nicoleau.