Je présenterai des travaux sur le mouvement brownien réfléchi en dimension 2. Introduite dans les années 1980 notamment par Harrison, Varadhan, Williams, cette diffusion est au cœur de nombreux problèmes probabilistes. Malgré tout l'intérêt que ce processus aléatoire a suscité pendant ces quarante dernières années, peu de résultats existaient sur sa distribution d'équilibre (lorsqu'elle existe), à l'exception de quelques cas où, de façon remarquable, la densité associée est une somme d'exponentielles, comme la fameuse skew symmetry. Dans cet exposé, je m'intéresserai à caractériser géométriquement les paramètres du modèle pour lesquels la distribution stationnaire est plus simple qu'attendu (en un certain sens que je préciserai). Dans ces cas, nous produisons une formule effective pour la densité. D'un point de vue technique, notre approche mélange calcul stochastique et équations fonctionnelles, en particulier les équations aux q-différences. Il s'agit d'un travail commun avec Mireille Bousquet-Mélou, Andrew Elvey Price, Sandro Franceschi et Charlotte Hardouin ; le preprint se trouve à l'adresse https://arxiv.org/abs/2101.01562.

Dans cet exposé, nous considèrerons le Laplacien magnétique, opérateur de Schrödinger en présence d'un champ purement magnétique. Nous verrons comment un champ magnétique qui ne s'annule pas divise le spectre en paquets, dans la limite semi-classique : des niveaux de Landau. La construction d'une forme normale permettra d'expliciter l'apport de chaque niveau de Landau dans l'ensemble du spectre. Nous en déduirons une loi de Weyl et une description des états semi-excités.

Nous nous intéresserons à l'équation de Helmholtz, un des plus simples modèles d'onde, posée à l'extérieur d'un obstacle. La méthode des éléments finis est un outils robuste et efficace pour résoudre une telle équation de manière numérique, cependant, des difficultés apparaissent lorsque l'on souhaite obtenir des estimations de convergence uniformes en la fréquence. Au cours des 10 dernières années, des résultats de Melenk et Sauter, décomposant les solutions de Helmholtz en composantes « hautes » et « basses » fréquences pour obtenir de telles estimations de convergence, ont eu un impact considérable. Obtenir ces décompositions dans un cadre général, par exemple pour l'équation à coefficients variables, semblait cependant pour l'instant hors de portée. Je présenterai un résultat récent obtenu avec Euan Spence et Jared Wunsch, où nous montrons, grâce à l'apport de l'analyse semi-classique et du calcul fonctionnel de Helffer et Sjöstrand, de telles décompositions dans le cadre très général de la dispersion par une boîte noire (« black-box scattering » de Sjöstrand et Zworski). Ce résultat nous permet en particulier d'obtenir de nouvelles estimations de convergence uniformes en la fréquence pour les éléments finis appliqués à l'extérieur d'obstacles pénétrables et impénétrables pour l'équation à coefficients variables.

In this presentation, we provide a result on the derivation of the incompressible Navier-Stokes-Fourier system from the Landau equation for hard, Maxwellian and moderately soft potentials. We first investigate the Cauchy theory associated to the rescaled Landau equation for small initial data.

Many spatio-temporal data record the time of birth and death of individuals, along with their spatial trajectories during their lifetime, whether through continuous-time observations or discrete-time observations. Natural applications include epidemiology, individual-based modelling in ecology, spatio-temporal dynamics observed in bio-imaging, and computer vision. To model this kind of data, we introduce spatial birth-death-move processes, where the birth and death dynamics depends on the current spatial state of all alive individuals and where individuals can move during their lifetime according to a continuous Markov process. We present some of the basic probabilistic properties of these processes and we consider the non-parametric estimation of their birth and death intensity functions. The setting is original because each observation in time belongs to a non-vectorial, infinite dimensional space and the dependence between observations is barely tractable. We prove the consistency of kernel estimators in presence of continuous-time or discrete-time observations, under fairly simple conditions. We moreover discuss how we can take advantage in practice of structural assumptions made on the intensity functions and we explain how data-driven bandwidth selection can be conducted, despite the unknown (and sometimes undefined) second order moments of the estimators. We finally apply our statistical method to the analysis of the spatio-temporal dynamics of proteins involved in exocytosis in cells.

This is a joint work with Ronan Le Guével (Rennes 2).

Je vous propose d'étudier 3 petits problèmes d'optimisation, et dans leur résolution d'aborder la méthode des multiplicateurs de Lagrange, ainsi que le principe de Fermat. Nous découvrirons entre autre les raisons qui donnent à nos boîtes de conserve leurs formes et leurs dimensions actuelles!

Dans cet exposé, je vous présenterai dans un premier temps la notion de système dynamique mesuré (SDM) ainsi que deux de leurs propriétés : la conservativité et l'ergodicité. Une fois ces notions introduites je pourrais, dans un second temps, m'atteler à la définition de l'application de "temps de premier retour" dans un certain ensemble mesurable pour ensuite énoncer et présenter la preuve du Lemme de Kac. C'est un résultat très pratique dont la preuve est visuellement intuitive mais formellement un peu moins digeste.