Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

This presentation focuses on the Vlasov-Poisson system with and without collisions. This kinetic model encodes the multiple scales that arise in a plasma, ranging from fluid-like behavior when collisions dominate, to wave interactions in weakly collisional regimes. We present a numerical method for the Vlasov-Poisson system which preserves its structure in both collision and collisionless regimes. We explain the key ideas in order to preserve the energy structure of the system and its large time behavior in collisional settings. We also show that the method adapts to higher dimensional frameworks.

Dans cet exposé, j'étudierai un modèle discret d'endommagement brutal dans différents régimes où la zone endommagée se concentre sur des ensembles infiniment petits. Nous identifierons la nature des modèles limites obtenus au moyen d'une analyse asymptotique basée sur la Gamma-convergence des énergies totales. Je commencerai par rappeler un modèle mécanique d'endommagement brutal introduit par Francfort et Marigo (1993), spécifié dans le cadre discret (bidimensionnel) où les énergies totales sont restreintes à des déplacements continus et affines par morceaux. Plus précisément, dans le contexte de l'endommagement brutal, nous considérons un matériau linéairement élastique composé de deux phases pures : une phase endommagée dont les propriétés élastiques sont affaiblies, et une phase saine. En introduisant des petits paramètres dans l'énergie totale de Francfort et Marigo, nous forçons les propriétés élastiques de l'état endommagé à dégénérer vers 0 tandis que les zones endommagées se concentrent sur des ensembles Lebesgue-négligeables. Selon les différents régimes asymptotiques de ces petits paramètres, nous obtenons cinq modèles mécaniques que je vous présenterai. J'essaierai de vous montrer les différences et idées clés de leurs démonstrations.

On s'intéresse aux marches aléatoires en milieu aléatoire. La difficulté principale dans l'étude de ces systèmes est l'interaction très forte entre la marche et son environnement. Dans cet exposé, on propose un critère qui, lorsqu'il est satisfait, permet de décomposer la trajectoire de la marche en incréments iid, et à terme de démontrer des théorèmes limites. Le critère porte sur l'environnement et implique la construction d'un champ aléatoire qui satisfait une certaine propriété de Markov ainsi que des estimées de décorrélation. On applique ce critère à des environnements corrélés en temps comme la percolation booléenne sur Z^d x N et des chaînes de renouvellement iid en espace. Basé sur https://arxiv.org/abs/2409.12515 (travail réalisé avec J. Allasia, R. Baldasso et A. Teixeira).

Le problème de concentration spectrale est un problème posé dans les années 1960 par Slepian, Landau et Pollak. Ils se sont intéressés aux fonctions qui ont une norme L^2([-1, 1]) maximale et pour lesquelles la transformée de Fourier est supportée dans [-c, c], c>0. Leurs résultats ont été ensuite utilisés dans de nombreux domaines d'applications. Dans cet exposé nous parlerons d'une généralisation du problème de concentration spectrale qui utilises des masques en espace et en Fourier, et nous en donnerons quelques propriétés basiques. En s'attardant sur le cas des masques binaires, nous étendrons le résultat de commutation au coeur des travaux de Slepian, Landau et Pollak. Le cas des masques gaussiens sera aussi abordé, et nous verrons alors comment décrire exactement les solutions du problème. Enfin, nous passerons à la résolution numérique dans le cas des masques binaires, puisque la présence de "quasi-clusters" de valeurs propres rend difficile la recherche de vecteurs propres. Nous donnerons une procédure numérique alternative, et comparerons ses résultats sur plusieurs exemples numériques.

We present an extension of the results obtained by Colombo and Perrollaz regarding the set of inverse designs for a class of scalar conservation laws with compact space dependency. The key ingredients are the notion of generalized characteristics of Dafermos and the correspondence with the associated Hamilton-Jacobi equation. Numerical simulations are presented to highlight the differences with the homogeneous case.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux méthodes de décomposition de domaine appliquées à un problème de contrôle optimal linéaire quadratique. Après un rapide retour sur les méthodes de résolution numérique pour les problèmes de contrôle optimal, je présenterai deux approches pour faire de la décomposition de domaine pour ces problèmes en faisant un parallèle avec les méthodes numériques classiques.

We consider the simple random walk on the Euclidean lattice in transient dimensions. It is known that the number of distinct visited sites is asymptotically linear in time. The probability of visiting a smaller number of sites, with a difference of the order of the mean, was evaluated asymptotically by Phetpradap in 2010, taking up the seminal work of van den Berg, Bolthausen and den Hollander in 2001 concerning the volume of a Wiener sausage. We consider the random walk conditioned to such a rare event and prove that the occupation measure of a certain random walk skeleton converges to a unique optimal profile modulo space shift, provided the deviation from the mean is large enough if dimension is four or higher. Our proof of this so-called tube property relies on the recent compactification of the space of measures introduced by Mukherjee and Varadhan, and it is a first step in the rigourous proof of the Swiss cheese picture proposed by van den Berg, Bolthausen and den Hollander. This is joint work with Dirk Erhard (Salvador de Bahia, Brazil).

References : M. van den Berg, E. Bolthausen and F. den Hollander, Moderate deviations for the volume of the Wiener sausage, Ann. of Math. (2) 153 (2001), no.~2, 355--406; MR1829754 C. Mukherjee and S. R. S. Varadhan, Brownian occupation measures, compactness and large deviations, Ann. Probab. 44 (2016), no.~6, 3934--3964; MR3572328

This talk will investigate the asymptotic behavior of evolution equations, including non-conservative ones, that are expected to converge to equilibrium at exponential speed. After reviewing some of the most classical methods used to derive this type of convergence, we will introduce an original approach to address this question. The key idea is to transform the problem into an equivalent conservative one, where solutions are probability measures, enabling the use of tools from optimal transport. Two examples in 1D -namely, the inhomogeneous heat equation with growth, and growth-fragmentation- will help us illustrate the method. This work is a collaboration with V. Calvez.

Cette étude s'intéresse aux phénomènes géophysiques, et plus particulièrement aux courants de densité pyroclastiques, des mélanges complexes composés de pyroclastes, de fragments rocheux et d'air. Ces phénomènes destructeurs, capables de parcourir de grandes distances et d'impacter des zones urbanisées, se distinguent par leur capacité à se propager même sur des terrains à faible pente. La fluidisation et la dilatation de ces matériaux granulaires denses semblent jouer un rôle clé dans ces dynamiques. Des approches de modélisation ont ainsi été développées pour approfondir leur compréhension.

Un modèle de mélange fluide-solide, adapté pour intégrer les propriétés spécifiques du gaz interstitiel, a été utilisé. La compressibilité du gaz permet de reformuler l'équation de conservation de la masse de la phase gazeuse en une équation dépendant de la pression. Pour décrire la dynamique de la phase solide, l'équation de quantité de mouvement de cette phase est complétée par des lois constitutives basées sur une rhéologie seuil et une fonction de dilatance. La divergence du champ de vitesse, qui reflète la capacité de l'écoulement granulaire à s'étendre ou à se comprimer, dépend ainsi de la fraction volumique, la pression, le taux de déformation et le nombre inertiel. Ce cadre théorique fournit une description réaliste et robuste des écoulements granulaires non-isochore fluidisés et constitue une base solide pour des études numériques.

Nous allons nous intéresser aux variables aléatoires de la forme Pn((Xi)i≥1), où : (i) (Pn)n≥1 est une suite de polynômes multivariés, chacun avec un nombre possiblement dénombrable de variables ; (ii) il existe une constante D≥1 telle que pour tout n≥1, le degré de Pn est borné par D ; (iii) (Xi)i≥1 est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, chacune ayant une moyenne nulle, une variance 1 et des moments finis à tout ordre.

Nous présenterons d'abord différents contextes où ces objets apparaissent naturellement: décomposition de Wiener pour des fonctionnelles d'un champ Gaussien, décomposition de Walsh pour des fonctions booléennes ou encore la décomposition Anova de Hoeffding puis donnerons quelques exemples d'utilisation récents de ces objets en physique statistique, théorie des graphes, géométrie aléatoire ou encore sciences sociales.

L'objectif principal de l'exposé est de présenter la résolution d'une question ouverte dans ce domaine de recherche consistant à classifier toutes les limites possibles en loi pour ce type de variables aléatoires.

Références: (liens arxiv)

-https://arxiv.org/abs/math/0503503

-https://arxiv.org/abs/2203.02850

-https://www.mathnet.ru/links/8acff9ba19ee0ead6e448b77afbcde60/rm9721_eng.pdf