Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Bayesian Inversion consists of deriving the posterior distribution of unknown parameters or functions from partial and indirect observations of a system. When the dimension of the search space is high or infinite, methods leveraging local information, such as derivatives of different orders, of the target probability measure have the advantages to converge faster than Monte-Carlo sampling techniques. Nevertheless, many applications are characterized by posterior distributions with low regularity or gradients that are intractable to compute. An interesting research direction consists in using interacting particle systems to explore the potential landscape, and Ensemble Kalman Sampler (EKS) is one of those. In this talk, we consider a simplified EKS dynamics, where the gradient of the potential is approximated by finite differences using independent Ornstein-Uhlenbeck processes that explore the neighborhood of the candidate parameter. We will characterize the invariant distribution of this system and compare its dynamics to the overdamped Langevin process.

Dans cette présentation, nous nous intéresserons à deux méthodes numériques indépen- dantes permettant d’accélérer et d’améliorer la résolution des EDP.

Récemment, ParaOpt, un algorithme parallèle en temps a été proposé pour résoudre les systèmes découlant de problèmes de contrôle optimal associés à des équations différentielles partielles (EDP). Cet algorithme combine la résolution des problèmes d’évolution forward/backward avec la boucle d’optimisation. Sa convergence et la précision de l’approximation numérique dépendent du schéma de pas de temps utilisé pour discrétiser le problème. Une première analyse de convergence a été présentée dans M.J. Gander, F. Kwok et J. Salomon SISC (2020) dans le cas restreint de la méthode implicite d’Euler pour les problèmes de contrôle optimal linéaire-quadratique impliquant des systèmes dissipatifs. Dans cette présentation, nous généraliserons ce résultat au cas où une méthode de Runge-Kutta est utilisée pour discrétiser le problème de contrôle optimal. Nous expliquons en particulier comment la discrétisation de la fonctionnelle doit être adaptée au schéma considéré et comment des conditions supplémentaires s’ajoutent aux conditions d’ordre habituel des méthodes de Runge-Kutta pour obtenir l’ordre de convergence attendu. Aphynity [Yuan Yin et al., J. Stat. Mech. (2021) 124012] est une approche consistant à ajouter un terme correctif sous la forme d’un réseau neurone à une EDP afin de prévoir avec précision l’évolution d’un système et d’identifier correctement ses paramètres physiques. L’apprentissage est alors effectué dans la boucle externe du solveur considéré, de sorte que l’entraînement se fait indirectement par le biais d’un schéma en temps. Nous décrirons l’influence du schéma choisi sur le réseau résultant et montrerons, dans des cas particuliers, que l’ordre d’approximation des termes corrigés correspond à l’ordre du schéma utilisé. Nous expliquerons également comment optimiser l’apprentissage par une approche de type Richardson.

My presentation is set within the framework of inverse problems. The main objective is to determine initial conditions, the state, or parameters of a system from available observations, with a particular focus on biological applications. We concentrate on sequential methods in data assimilation, where observations are incorporated as they become available. In this context, I present two examples: the reconstruction of a source term in a wave equation, and the determination of both state and parameters in a PDE system modeling tumor growth. For the first problem, we define a Kalman estimator in infinite dimensions that sequentially estimates the source term. We show that this sequential estimator is equivalent to minimizing a functional, which allows us to perform convergence analysis under observability conditions. The second project studies the evolution of non-spherical tumor growth by combining mathematical modeling with data assimilation from biological measurements. The general strategy is to extract relevant information from images of spheroids, formulate a PDE model for tumor evolution, and then reduce it to an ODE model. A reduced ROUKF coupled with a Luenberger observer is then used to estimate both the state and the parameters.

Abstract: Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMPs) describe deterministic dynamical systems whose parameters undergo random jumps, making them versatile tools for modeling complex stochastic phenomena. Yet, simulating their trajectories can be computationally demanding. For a broad class of inference problems, an optimal sampling strategy can be characterized in terms of a generalized "committor function". We introduce a new adaptive importance sampling method designed to efficiently generate rare PDMP trajectories. The approach unfolds in two stages. First, in an offline phase, the PDMP is coarse-grained into a simpler graph-based process, enabling explicit computation of key quantities and yielding a low-cost approximation of the committor function. Then, in an online phase, trajectories are sampled from a distribution guided by this approximation and iteratively improved via cross-entropy minimization. We provide asymptotic guarantees for the method and demonstrate its effectiveness through the estimation of the failure probability of a complex industrial system.

In this talk I will introduce the quenched Edwards--Wilkinson equation, which models the growth of an interface among an obstacle field. Due to the elasticity effect of the laplacian, obstacle may slow down or stop the growth of the interface. When the driving force is low and there is enough disorder of the obstacle field, the interface may get pinned. But for a large enough driving force, there is a positive speed of propagation of the interface. I will give the intuition for this phenomenon, mention what is done in the literature and then will turn to this equation with a Gaussian disorder, which is white in the spatial component. Due to the irregularity we need tools from Rough Paths, like the (stochastic) sewing lemma and regularisation by noise in order to show well-posedness. I will explain the idea behind these tools and how we apply them. This is joint work with Toyota Matsuda and Jaeyun Ji.

L’objectif de cet exposé est l’étude d’une équation de diffusion non linéaire fractionnaire posée sur un domaine bornée. Cette équation constitue une variante de l’équation des milieux poreux ou de l’équation de diffusion rapide, dans laquelle le laplacien est remplacé par un laplacien fractionnaire. Dans le cas des milieux poreux, les solutions présentent une décroissance à vitesse algébrique, tandis que dans le cas de la diffusion rapide, elles présentent un phénomène d’extinction en temps fini: à partir d’un certain temps elles sont uniformément nulles. Par ailleurs, les solutions convergent vers les solutions à variables séparées, lorsque le temps tend vers l’infini dans le cas des milieux poreux, ou lorsqu’il tend vers le temps d’extinction dans le cas de la diffusion rapide. Nous introduirons ensuite un schéma numérique qui préserve ces propriétés qualitatives. Ce schéma permettra de déterminer numériquement le temps d’extinction ainsi que le taux de convergence vers les solutions à variables séparées.

Titre : Sélection de variables en grande dimension dans les modèles non-linéaires à effets mixtes : méthode, application et garanties théoriques. Résumé : La problématique de la sélection de variables en grande dimension, caractérisée par un nombre significativement plus élevé de covariables que d'observations, est bien étudiée dans le contexte des modèles de régression standard. Cependant, peu d'outils sont actuellement disponibles pour aborder cette question dans le cadre des modèles non-linéaires à effets mixtes, où les données sont collectées de façon répétée sur plusieurs individus. Ma thèse a porté sur le développement d’une procédure de sélection de covariables en grande dimension pour ces modèles, en étudiant à la fois leurs implémentations pratiques et leurs propriétés théoriques. Cette méthode repose sur un prior bayésien de type spike-and-slab gaussien et l’algorithme SAEM (Stochastic Approximation of Expectation Maximisation Algorithm). Nous en illustrons l’intérêt à travers une application concrète visant à identifier des marqueurs génétiques potentiellement impliqués dans le processus de sénescence du blé tendre. D’un point de vue théorique, nous avons analysé les propriétés fréquentistes des distributions a posteriori et établi des taux de contraction a posteriori autour des vraies valeurs des paramètres dans un modèle non-linéaire à effets mixtes sous prior spike-and-slab discret, comparables à ceux observés dans des modèles linéaires.

Les cils et flagelles présentent un mouvement périodique caractéristique, leur permettant de nager aussi efficacement que possible dans un fluide visqueux. La génération d’un tel mouvement est possible grâce à une structure d’activation interne périodique présente tout le long du filament, appelée axonème. Dans l’axonème, les forces sont générées par des moteurs moléculaires qui, tous ensemble, contribuent à la courbure du filament.

Après avoir étudié le modèle de moteur moléculaire, on proposera plusieurs versions de systèmes couplés d’équations aux dérivées partielles, modélisant l’activation dans une cellule de périodicité. Les résultats théoriques seront également illustrés par des simulations numériques.

La détection et la localisation des modes d'une densité de probabilité (i.e., les points où la densité atteint un maximum local) constituent un problème classique de statistique non paramétrique. L’estimation du mode global, lorsqu’il est unique, en particulier pour les densités unimodales, a longtemps concentré l’attention, conduisant à la fois à la conception d’algorithmes efficaces et à une caractérisation précise des vitesses minimax sous différentes hypothèses sur la densité sous-jacente. Le problème plus général de l’estimation de l’ensemble des modes est plus difficile. Plusieurs approches ont été proposées, notamment les méthodes de type mean-shift, qui donnent des résultats satisfaisants en pratique, mais dont les performances restent peu comprises théoriquement. Dans cette présentation, nous proposerons une alternative fondée sur un outil central de l’analyse topologique des données (TDA) : l’homologie persistante et sa représentation pratique via les diagrammes de persistance. Nous présenterons plusieurs résultats sur la consistance de cette approche, pour de larges classes de densités pouvant admettre des discontinuités (y compris en les modes) ainsi que son optimalité au sens minimax. Au-delà de l’estimation des modes, nous discuterons également du problème de l’estimation des diagrammes de persistance pour de telles densités.

Title : Estimation of Multiple Modes and Persistent Homology.

Abstract : Detecting and localizing the modes of a probability density (i.e., the points where the density attains a local maximum) is a classical problem in nonparametric statistics. Estimating the global mode, when it is unique, particularly for unimodal densities, has long attracted attention, leading both to the design of efficient algorithms and to a precise characterization of minimax rates under various assumptions on the underlying density. The more general problem of estimating the set of all modes is considerably more challenging. Several approaches have been proposed, notably mean-shift methods, which perform well in practice but whose theoretical properties remain poorly understood. In this talk, we will propose an alternative approach based on a central tool from topological data analysis (TDA): persistent homology and its practical representation through persistence diagrams. We will present several results on the consistency of this method for broad classes of densities, including those that may have discontinuities (even at the modes), as well as its minimax optimality. Beyond mode estimation, we will also discuss the problem of estimating persistence diagrams for such densities.

Dans cet exposé, nous allons présenter des intégrateurs BUG (Basis-Update & Galerkin) d’ordre élevé basés sur des méthodes de Runge-Kutta explicites. Ces intégrateurs dynamiques de rang faible sont des extensions d’ordre élevé de l’intégrateur BUG et sont construits en effectuant une étape BUG à chaque étape de la méthode de Runge–Kutta. De cette manière, l’intégrateur Runge-Kutta BUG est robuste face à la présence de petites valeurs singulières et n’implique pas d’étape d’intégration tem- porelle rétrograde. Nous fournissons une borne d’erreur qui montre que l’intégrateur Runge–Kutta BUG conserve l’ordre de convergence de la méthode Runge–Kutta associée jusqu’à ce que l’erreur atteigne un plateau correspondant à l’erreur de troncature de rang faible. Cette borne d’erreur est finalement validée expérimentalement. Les résultats numériques démontrent la convergence d’ordre élevé de l’intégrateur Runge–Kutta BUG et sa précision supérieure par rapport à d’autres intégrateurs dynamiques de rang faible proposés dans la littérature.