Colloquium (archives)

La K-théorie doit son nom au mot "classe" ("Klasse" en allemand) ; c'est au départ une construction algébrique universelle qui associe un groupe à un monoïde en formant certaines classes d'équivalence, de façon analogue à la construction des nombres entiers à partir des nombres naturels. Quillen a introduit la K-théorie algébrique supérieure des anneaux en plaçant cette construction dans le contexte plus flexible de la topologie ; sa théorie s'est révélée étroitement liée à des questions arithmétiques profondes. Elle fut généralisée ensuite par Waldhausen à des "anneaux à homotopie près" ou "S-algèbres", établissant un point de contact novateur entre l'arithmétique et la géométrie.

Dans cet exposé, qui s'adresse au non-specialiste, je proposerai une introduction à cette théorie, accompagnée d'un petit choix de résultats anciens et récents.

TBA.

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Les structures de contact et leurs cousines symplectiques permettent de jeter des ponts entre topologie et systèmes dynamiques.
– Recherche d’orbites périodiques de champs de vecteurs ;
– Étude des espaces de courbes holomorphes ;
– Liens avec la théorie des noeuds.
On présentera quelques enjeux et méthodes de la géométrie de contact.

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Dans cet exposé, je définirai un cadre d’agrégation déterministe de modèles appelé la prévision de suites individuelles, puis en présenterai les résultats fondamentaux (mélange par poids exponentiels, régression ridge). Ce sont des résultats tellement fondamentaux que je les ai enseignés au niveau L3 ! J’expliquerai également comment nous avons appliqué ces résultats en pratique, sur deux jeux de données : l’un relié à la prévision de la qualité de l’air et l’autre à propos de la prévision mensuelle des taux de change. Un

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Dans le théorème d’ergodicité quantique, il s’agit habituellement d’étudier les phénomènes de localisation des fonctions propres du laplacien sur une variété compacte, dans l’asymptotique des hautes valeurs propres. Après un rapide survol de ces questions, je présenterai une problématique analogue sur les graphes réguliers finis, dont la taille tend vers l’infini : Uzy Smilansky a en effet émis l’idée que de tels graphes pourraient constituer un paradigme pour tester les conjectures liées au “chaos quantique”. Il s’agit d’un travail en commun avec Etienne Le Masson.

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Nous allons discuter la notion de réductibilité (souvent appelée “théorie de Floquet” ) pour les co-cycles quasi-périodiques. Un cocycle quasi-périodique est le nom commun d’un système linéaire d’équations différentielles ou de différences, dépendant du temps de façon quasi-périodique. De tels systèmes apparaissent à la fois dans la théorie linéaire (l’équation stationnaire de Schrödinger) et dans la théorie non-linéaire (l’équation variationnelle pour une solution quasi-périodique) et la réductibilitée est une propriété naturelle, au moins pour les systèmes proches du cas constant. Pour les EDO (=dimension finie) nous avons une image détaillée et assez complète de cette propriété dans le régime perturbatif : sous des conditions assez générales, tout système est “presque réductible” et “presque tout" systéme est réductible. Pour les EDP (= dimension infinie) l’état de notre connaissance est bien plus lacunaire, mais il y a quelques résultats

Les assistants à la preuve sont une famille relativement méconnue de logiciels pour faire des mathématiques avec un ordinateur. Ils permettent à leurs utilisateurs de vérifier avec la plus grande certitude possible la validité des démonstrations qu’ils ont préalablement décrites à la machine. Le premier grand succès de cette approche de la vérification mathématique date sans doute de 2005, lorsque la preuve du théorème des quatre couleurs a été formalisée complètement à l’aide d’un tel assistant à la preuve. La seule preuve de ce résultat connue à ce jour mélange des arguments de combinatoire avec des calculs importants, impossible à effectuer à la main, qui confèrent pour certains un statut controversé à la démonstration. En septembre 2012, une preuve du théorème de l’ordre impair (Feit-Thompson, 1963), pierre angulaire de la classification des groupes simples finis, a également été vérifiée par un assistant à la preuve. Cette preuve ne repose aucunement sur des arguments calculatoires. Il s’agit d’une combinaison sophistiquée de théories algébriques, et la preuve de Feit et Thompson fut en son temps l’une les plus longues de la littérature mathématique.

À la fin du 19e siècle, lors de l’étude du problème des 3 corps (le système Soleil-Terre-Lune), H. Poincaré fut amené à regarder la dynamique des applications des surfaces qui préservent l’aire au voisinage de leurs points fixes. Ensuite, dans les années 30, Birkhoff commença l’étude des applications twists conservatives de l’anneau 2-dimensionnel qui servent à modéliser la situation envisagée par Poincaré, mais aussi les mouvements d’une boule dans une table de billard convexe ou le mouvement d’un pendule rigide. Après avoir rappelé cela et expliqué précisément ce qu’est un twist conservatif, j’expliquerai certains résultats dûs à divers mathématiciens comme Birkhoff, Kolmogorov-Arnold et Moser, Aubry, Mather, Herman, Le Calvez qui concernent : -la stabilité, et plus précisèment les courbes invariantes ; -l’instabilité, et plus précisément les orbites qui se promènent entre différentes courbes invariantes.

Combien de racines réelles possède en moyenne un polynôme réel de degré d ? Une première réponse fut apportée par M. Kac dans les années 40 et pour une mesure différente par A. Edelman et E. Kostlan ou M. Shub et S. Smale dans les années 90. Si l’on considère des polynômes à plusieurs variables, on peut de la même façon estimer les nombres de Betti moyens de leurs lieux d’annulation dans l’espace affine. Je discuterai notre travail en commun avec Damien Gayet sur ce sujet.