Colloquium (archives)

Les phénomènes d’interactions fluide-structure interviennent dans de nombreuses applications tant en aérodynamique qu’en biomécanique. En particulier, ils apparaissent dans l’étude des écoulements biologiques : écoulement sanguin dans les artères, écoulement de l’air dans l’appareil respiratoire. Le fluide interagit avec la structure, mobile ou déformable, qui en retour modifie l’écoulement. Ces phénomènes peuvent être décrits par un système d’edps qui, lorsque le fluide est décrit par les équations de Navier-Stokes et que la structure est élastique, est de type parabolique-hyperbolique. Il s’agit de systèmes non linéaires fortement couplés où l’interface entre le fluide et la structure est une inconnue du problème. Ces systèmes couplés posent des difficultés tant du point de vue de l’analyse mathématique que de l’implémentation numérique. Les réponses que l’on peut apporter mathématiquement (pour le traitement des non linéarités ou le découplage des problèmes fluide et structure par exemple) peuvent également servir de cadre pour l’élaboration de schémas numériques performants. Dans cet exposé nous tenterons de montrer quelles sont les difficultés qui interviennent lorsque l’on cherche à montrer l’existence de solution faibles ou fortes et quelles réponses peuvent être apportées. On s’intéressera en particulier à un modèle qui peut être vu comme un modèle jouet pour décrire les écoulements sanguins.

L'Analyse Topologique des Données (TDA) est un domaine récent qui connaît un succès croissant depuis quelques années. Il vise à comprendre, analyser et exploiter la structure topologique et géométrique de données complexes. Avec l'émergence de la théorie de la persistance homologique, la géométrie et la topologie ont fourni des outils mathématiques nouveaux et efficaces pour aborder ces questions. Dans cet exposé, nous introduirons quelques outils permettant de construire des descripteurs robustes de la topologie des données. Nous nous intéresserons à leurs propriétés (stabilité, statistiques) et nous illustrerons, sur quelques exemples applicatifs concrets, l’intérêt des approches topologiques pour l’analyse des données et l’apprentissage statistique.

Un système hamiltonien qui possède un point invariant elliptique non résonnant admet un invariant de conjugaison formel (au sens des séries formelles), sa forme normale de Birkhoff en ce point. Le système hamiltonien est ainsi formellement conjugué à sa forme normale de Birkhoff. Si cet invariant formel ainsi que la conjugaison formelle avaient une existence réelle cela aurait pour conséquence qu’au voisinage du point fixe toute orbite serait quasi-périodique, ce que l’on sait être faux depuis les travaux de Poincaré. Néanmoins, bien que formelle, cette forme normale de Birkhoff joue un rôle fondamental dans la compréhension de la dynamique du hamiltonien au voisinage du point fixe. Couplée à la théorie KAM (pour Kolmogorov, Arnold,Moser), elle permet de démontrer dans de nombreuses situations l’existence d’un ensemble de mesure positive de tores invariants quasi-périodiques au voisinage de l’équilibre. Une question naturelle est de comprendre dans quelle mesure la régularité analytique du hamiltonien renforce l’influence de la forme normale de Birkhoff sur la dynamique du système.

Après divers rappels sur les notions intervenant dans mon exposé, j'introduirai une notion de décomposition en anses pincées des complexes simpliciaux finis et en montrerai l'existence après subdivisions stellaires en des facettes. Ces décompositions généralisent les effeuillages classiques des bords de polytopes convexes par exemple. Par ailleurs, toute fonction de Morse discrète induit une telle décomposition sur la deuxième subdivision barycentrique tandis qu'inversement chaque décomposition en anses pincées encode elle-même une famille de fonctions de Morse discrètes compatibles.

Les travaux de Milnor et d'A'Campo dans les années 60 et 70 ont mis en évidence l'importance de l'action de la monodromie sur la fibre de Milnor des singularités d'hypersurfaces complexes. Après avoir présenté ces résultats, j'expliquerai comment ils sont à l'origine de développements récents ayant des connexions inattendues avec l'intégration motivique, la géométrie non-archimédienne et la géométrie symplectique.

Le célèbre théorème nodal de Richard Courant (1923) établit que pour la réalisation de Dirichlet du Laplacien le nombre $\nu(\phi)$ de composantes connexes de la partition nodale d'une fonction propre $\phi$ est toujours inférieur ou égal au numéro $k(\phi)$de la valeur propre correspondante. On se propose de présenter de nombreux résultats récents qui relient le calcul du défaut nodal $\nu(\phi)-k(\phi)$ à d'autres invariants spectraux. On évoquera aussi des extensions à des partitions non nécessairement nodales dans la lignée de travaux de Helffer--Hoffmann-Ostenhof--Terracini.

The evolution of a gas can be described by different models depending on the observation scale. A natural question, raised by Hilbert in his sixth problem, is whether these models provide consistent predictions. In particular, for rarefied gases, it is expected that continuum laws of kinetic theory can be obtained directly from molecular dynamics governed by the fundamental principles of mechanics.

In the case of hard sphere gases, Lanford showed that the Boltzmann equation emerges as the law of large numbers in the low density limit, at least for very short times. The goal of this survey is to present recent progress in the understanding of this limiting process, providing a complete statistical description.

La géométrie sous-riemannienne offre une variété de situations dans lesquelles on aimerait étendre les résultats classiques de géométrie spectrale riemannienne (formule de Weyl, noyau de la chaleur, mesures semiclassiques ...). Plusieurs méthodes ont été développées qui aboutissent dans certains cas (Métivier, Menikoff-Sjöstrand, Helffer-Nourrigat, Morame ...). Je présenterai les particularités inhérentes à la géométrie sous-riemannienne, les approches microlocales mentionnées ci-dessus ainsi qu'une approche semi-groupe étudiée avec Yves Colin de Verdière et Emmanuel Trélat.

Le problème de transport optimal posé par Monge en 1781 est fortement lié à des équations aux dérivées partielles liées à la géométrie, en particulier celles de Monge-Ampère et de Hamilton-Jacobi. Il a été reformulé fructueusement par Kantorovich en 1942 dans le langage des probabilités et de l'analyse convexe. L'hydrodynamique, fondée par Euler dès 1757, en fournit une autre formulation qui se révèle particulièrement efficace pour des généralisations à de multiples équations aux dérivées partielles, y compris celles d'Einstein de la relativité générale dans le vide.

Exposé du colloquium