Colloquium (archives)

On voudrait comprendre la géométrie d'un espace à partir de sa géométrie infinitésimale. Pour cela je commencerai par esquisser et motiver la notion de convergence au sens de Gromov-Hausdorff. Je donnerai ensuite des exemples d'espaces singuliers et d'expliquer comment ces exemples sont des limites d'objets " réguliers". La géométrie infinitésimale est celle que l'on obtient en zoomant autour d'un point et passant à la limite et la dernière partie de l'exposé sera consacrée aux outils permettant de décrire la géométrie à partir de la géométrie infinitésimale.

A classical topic in spectral theory is Weyl’s law describing the asymptotics of the eigenvalues of the Laplacian on a bounded open set. We are interested in these asymptotics in low regularity situations. Both in the Dirichlet and in the Neumann case we show two-term asymptotics for Riesz means of any positive order under the assumption that the boundary is Lipschitz continuous. For convex sets we obtain universal, nonasymptotic bounds. Tools in our proof are universal heat kernel bounds, as well as Tauberian Remainder Theorems.

Dans cet exposé, on présentera les enjeux de la simulation numérique en temps
grand de certains systèmes dissipatifs. Sur un exemple simple d’une équation de convection-diffusion,
on montrera comment construire des méthodes numériques compatibles avec les états d’équilibre
et qui préservent le comportement en temps du modèle continu.

Les trajectoires géodésique sur une variété Riemannienne à courbure strictement négative sont très chaotiques: elles ont la propriété de mélange qui est que toute mesure de probabilité lisse sur l’espace des phases transportée par la dynamique évolue (au sens faible) vers la mesure uniforme de Liouville, appelée équilibre. On s’intéressera aux fluctuations autour de cet équilibre, i.e. aux termes suivant dans une expansion asymptotique en temps longs. On expliquera que ces fluctuations sont gouvernées par l’équation des ondes. Cette propriété un peu surprenante est déjà sous-jacente à la théorie de Selberg (formule des traces) qui relie les trajectoires périodiques aux spectre du Laplacien sur les surfaces hyperboliques. Les techniques et mécanismes sont l’analyse micro-locale, les espaces de Sobolev anisotropes et les spineurs symplectiques. Collaboration avec Masato Tsujii.

Quantum mechanics is described through solutions to the Schrödinger equation, which is the quantum analog of the Hamiltonian equations in classical dynamics. Stationary states are given by eigenfunctions of an elliptic operator, which in this talk will be the Laplace-Beltrami operator in a compact Riemannian manifold. Its eigenfunctions that correspond to very large eigenvalues are somewhat described by the Hamiltonian classical dynamics, which in our case is the geodesic flow. The nature of this correspondence is elusive, and depends on global geometric properties of the manifold. We will try to introduce the audience to this area of research through several simple, yet important examples, focusing mainly on manifolds with completely integrable geometry and their perturbations.

Les phénomènes d’interactions fluide-structure interviennent dans de nombreuses applications tant en aérodynamique qu’en biomécanique. En particulier, ils apparaissent dans l’étude des écoulements biologiques : écoulement sanguin dans les artères, écoulement de l’air dans l’appareil respiratoire. Le fluide interagit avec la structure, mobile ou déformable, qui en retour modifie l’écoulement. Ces phénomènes peuvent être décrits par un système d’edps qui, lorsque le fluide est décrit par les équations de Navier-Stokes et que la structure est élastique, est de type parabolique-hyperbolique. Il s’agit de systèmes non linéaires fortement couplés où l’interface entre le fluide et la structure est une inconnue du problème. Ces systèmes couplés posent des difficultés tant du point de vue de l’analyse mathématique que de l’implémentation numérique. Les réponses que l’on peut apporter mathématiquement (pour le traitement des non linéarités ou le découplage des problèmes fluide et structure par exemple) peuvent également servir de cadre pour l’élaboration de schémas numériques performants. Dans cet exposé nous tenterons de montrer quelles sont les difficultés qui interviennent lorsque l’on cherche à montrer l’existence de solution faibles ou fortes et quelles réponses peuvent être apportées. On s’intéressera en particulier à un modèle qui peut être vu comme un modèle jouet pour décrire les écoulements sanguins.

L'Analyse Topologique des Données (TDA) est un domaine récent qui connaît un succès croissant depuis quelques années. Il vise à comprendre, analyser et exploiter la structure topologique et géométrique de données complexes. Avec l'émergence de la théorie de la persistance homologique, la géométrie et la topologie ont fourni des outils mathématiques nouveaux et efficaces pour aborder ces questions. Dans cet exposé, nous introduirons quelques outils permettant de construire des descripteurs robustes de la topologie des données. Nous nous intéresserons à leurs propriétés (stabilité, statistiques) et nous illustrerons, sur quelques exemples applicatifs concrets, l’intérêt des approches topologiques pour l’analyse des données et l’apprentissage statistique.