Colloquium (archives)

Conway’s approach to enumerating knots from the 1970s highlighted an interesting ambiguity wherein pairs of tangles assembled in different ways can give rise to different knots. The process relating the resulting knots has come to be known as knot mutation, and because this often leads to a subtle and difficult-to-detect change to a knot, has received considerable attention ever since. This talk will focus on the history of knot mutation in the context of the Jones polynomial and its categorification known as Khovanov homology. The former highlights how one might view mutation as pointing to hidden symmetries in the definition of a knot invariant; the proof that the Jones polynomial is unchanged under mutation is surprisingly simple from this perspective. By contrast, the latter is a much more subtle story, which ultimately makes a surprising appeal to the homological mirror symmetry of the 3-punctured sphere. This last step is part of a project with Artem Kotelskiy and Claudius Zibrowius.

On voudrait comprendre la géométrie d'un espace à partir de sa géométrie infinitésimale. Pour cela je commencerai par esquisser et motiver la notion de convergence au sens de Gromov-Hausdorff. Je donnerai ensuite des exemples d'espaces singuliers et d'expliquer comment ces exemples sont des limites d'objets " réguliers". La géométrie infinitésimale est celle que l'on obtient en zoomant autour d'un point et passant à la limite et la dernière partie de l'exposé sera consacrée aux outils permettant de décrire la géométrie à partir de la géométrie infinitésimale.

A classical topic in spectral theory is Weyl’s law describing the asymptotics of the eigenvalues of the Laplacian on a bounded open set. We are interested in these asymptotics in low regularity situations. Both in the Dirichlet and in the Neumann case we show two-term asymptotics for Riesz means of any positive order under the assumption that the boundary is Lipschitz continuous. For convex sets we obtain universal, nonasymptotic bounds. Tools in our proof are universal heat kernel bounds, as well as Tauberian Remainder Theorems.

Dans cet exposé, on présentera les enjeux de la simulation numérique en temps grand de certains systèmes dissipatifs. Sur un exemple simple d’une équation de convection-diffusion, on montrera comment construire des méthodes numériques compatibles avec les états d’équilibre et qui préservent le comportement en temps du modèle continu.

Les trajectoires géodésique sur une variété Riemannienne à courbure strictement négative sont très chaotiques: elles ont la propriété de mélange qui est que toute mesure de probabilité lisse sur l’espace des phases transportée par la dynamique évolue (au sens faible) vers la mesure uniforme de Liouville, appelée équilibre. On s’intéressera aux fluctuations autour de cet équilibre, i.e. aux termes suivant dans une expansion asymptotique en temps longs. On expliquera que ces fluctuations sont gouvernées par l’équation des ondes. Cette propriété un peu surprenante est déjà sous-jacente à la théorie de Selberg (formule des traces) qui relie les trajectoires périodiques aux spectre du Laplacien sur les surfaces hyperboliques. Les techniques et mécanismes sont l’analyse micro-locale, les espaces de Sobolev anisotropes et les spineurs symplectiques. Collaboration avec Masato Tsujii.

Quantum mechanics is described through solutions to the Schrödinger equation, which is the quantum analog of the Hamiltonian equations in classical dynamics. Stationary states are given by eigenfunctions of an elliptic operator, which in this talk will be the Laplace-Beltrami operator in a compact Riemannian manifold. Its eigenfunctions that correspond to very large eigenvalues are somewhat described by the Hamiltonian classical dynamics, which in our case is the geodesic flow. The nature of this correspondence is elusive, and depends on global geometric properties of the manifold. We will try to introduce the audience to this area of research through several simple, yet important examples, focusing mainly on manifolds with completely integrable geometry and their perturbations.