Colloquium (archives)

La géométrie sous-riemannienne offre une variété de situations dans lesquelles on aimerait étendre les résultats classiques de géométrie spectrale riemannienne (formule de Weyl, noyau de la chaleur, mesures semiclassiques ...). Plusieurs méthodes ont été développées qui aboutissent dans certains cas (Métivier, Menikoff-Sjöstrand, Helffer-Nourrigat, Morame ...). Je présenterai les particularités inhérentes à la géométrie sous-riemannienne, les approches microlocales mentionnées ci-dessus ainsi qu'une approche semi-groupe étudiée avec Yves Colin de Verdière et Emmanuel Trélat.

Je parlerai de plusieurs problèmes énumératifs (dans le cadre complexe ou réel), en particulier, celui du dénombrement de droites sur une surface lisse de degré 4 dans l'espace projectif de dimension 3 et celui du dénombrement de plans sur une hypersurface cubique lisse dans l'espace projectif de dimension 5. Dans ces deux cas, le problème énumératif étudié peut être réduit à des questions arithmétiques concernant certains réseaux.

We will give a survey on the main problems concerning rigidity, stability and formation of black holes and some of the recent results.

Après l'étude en dimension 3 de l'équation d'Einstein, ou de son flot associé--le flot de Ricci--, l'étude en dimension 4 est l'une des nouvelles frontières de la géométrie riemannienne. Malgré de nombreux efforts, peu d'exemples sont connus et des questions de base restent ouvertes. Dans cet exposé, on fera le point sur plusieurs progrès importants accomplis ces dernières années.

At the starting point of this talk are two integrable Hamiltonian systems in infinite space dimension. The first one is the Benjamin--Ono equation and was introduced about forty years ago in Fluid Mechanics. The second one is the Szegö equation and was introduced about ten years ago as a model of a non dispersive Hamiltonian evolution. Both systems admit a Lax pair structure, involving operators on the Hardy space of the disk enjoying special commuting properties with the shift operator : Hankel operators and Toeplitz operators. I will focus on the inverse spectral problems for these Lax operators, on the similarities in the strategy for solving them and on the dramatically different outputs.

Le problème du sous-espace invariant est l'un des problèmes ouverts les plus connus en analyse fonctionnelle, et il a fait l'objet de nombreuses spéculations. Il s'énonce ainsi: Etant donné un opérateur linéaire continu T agissant sur un espace de Banach (réel ou complexe) séparable de dimension infinie X, est-il toujours vrai qu'il existe un sous-espace M de X, distinct de {0} et X, qui soit invariant par T ? Des contre-exemples sont connus sur de nombreux espaces non-réflexifs, en particulier grâce aux travaux pionniers d'Enflo et Read, et il découle d'une construction récente d'Argyros et Haydon qu'il existe des espaces X sur lesquels tout opérateur a un sous-espace invariant non-trivial. Mais le problème reste obstinément ouvert dans le cadre Hilbertien, et plus généralement dans le cadre réflexif.

Je présenterai quelques approches récentes de ce problème, en tâchant de mettre en lumière la nature des difficultés rencontrées.

Après avoir rappelé des résultats classiques de nature géométrique, liant la contrôlabilité des systèmes différentiels et les crochets de Lie des champs de vecteurs impliqués dans l'équation, nous présenterons un résultat récent d'alternative quadratique, de nature plus analytique, qui souligne l'importance du cadre fonctionnel utilisé pour les contrôles (selon le cadre fonctionnel utilisé, un même système peut être localement contrôlable, ou ne pas être localement contrôlable, même si l'état vit dans un espace de dimension finie).

Après avoir rappelé les principales caractéristiques de la transformation de Fourier sur ${\mathbb R}^n$, nous introduirons le groupe d'Heisenberg et expliquerons de manière très élémentaire comment l'on peut voir la transformation de Fourier dans ce cadre comme fonction continue sur un espace singulier (l'espace des fréquences) que nous définirons de manière explicite.

Texte Colloquium

Les logiciels de vérification de démonstrations existent depuis la fin des années 60 et ont fait de grands progrès ces dernières années. On pourrait imaginer que les mathématiciens les utilisent, que ce soit à petite échelle ou pour vérifier des théories très techniques, ou encore pour enseigner la notion de démonstration. Cependant presque aucun mathématicien ne le fait. On sait depuis la vérification en 2012 du théorème de Feit-Thompson que, entre les mains d'informathématiciens experts, ces logiciels peuvent vérifier une démonstration longue et compliquée mais ne faisant intervenir que des objets simples à définir. Dans cet exposé, je rendrai compte d'expériences en cours où des mathématiciens, sans formation en informatique théorique, essayent de manipuler des objets mathématiques sophistiqués dans le logiciel de vérification Lean.

Dans cet exposé, je m'intéresse à l'approximation numérique des problèmes hyperboliques non linéaires. Il est bien connu que la solution générique du problème de Cauchy pour un problème de ce type n'est même pas continue, en général, d'où la notion de solution faible. Il faut aussi rajouter un principe de sélection au moyen d'entropies, et donc des inégalités supplémentaires. Du point de vue numérique, la notion de solution faible se traduit, grâce au théorème de Lax Wendroff (1960), par la notion de flux qui donne aussi la forme que doit posséder un schéma numérique pour fournir des solutions convergeant vers une solution faible. Les contraintes d'entropies se traduisent simplement par des contraintes sur des flux liés à l'entropie. Depuis longtemps, la recherche se résume à construire des schémas, donc des flux, de plus en plus robustes, précis, .... Je revisiterai la notion de conservation, pour introduire une variante un peu plus générale qui permettra de démontrer un théorème à la Lax Wendroff, et de montrer que tous les schémas classiques, éléments finis compris, ont une forme par flux, avec une expression analytique des flux. Je montrerai aussi qu'elle permet de construire, à partir d'un schéma quelconque, un schéma, toujours localement conservatif, mais qui satisfait d'autres relations (ou inégalités) de conservation, l'exemple typique étant celui de l'entropie.