Colloquium (archives)

Je ferai un survol d'applications de la topologie à la neuroscience, de l'échelle des neurones à l'échelle des régions du cerveau. En particulier je décrirai en détail des collaborations avec le projet "Blue Brain" concernant l'analyse topologique de la structure et la fonction de microconnectomes digitalement reconstruits et concernant la classification topologique de types morphologiques de neurones, qui sert ensuite à la synthèse de modèles digitaux de neurones.

La question d'obtenir des équations de la mécanique des fluides à partir de systèmes déterministes de particules en interaction satisfaisant aux équations de Newton, dans la limite où le nombre de particules tend vers l'infini, est posée par Hilbert dans son sixième problème. Dans cet exposé nous présenterons quelques avancées dans ce programme. Il s'agit de travaux en collaboration avec Thierry Bodineau et Laure Saint Raymond.

 Un théorème de Richard Courant (1923) énonce qu'une fonction propre u du Laplacien -- par exemple dans un domaine borné de R^n, avec conditions de Dirichlet -- ne peut pas avoir plus de domaines nodaux [les composantes connexes du complémentaire de u^{-1}(0)] que l'ordre de la valeur propre correspondante [les valeurs propres étant rangées dans l'ordre croissant, avec multiplicités]. Ce théorème généralise partiellement, en dimension supérieure ou égale à deux, un théorème de Charles Sturm (1836) pour les équations de Sturm-Liouville.

Dans cet exposé, je parlerai de résultats connus, parfois un peu oubliés, ou moins connus de Sturm, en relation avec le théorème de Courant et les travaux récents auxquels il a donné lieu.

Il existe de nombreux problèmes de physique ou de mathématiques dont l'objectif est "d'énumérer" ou "mesurer" un ensemble de surfaces de topologie donnée. Il peut s'agir de surfaces discrétisées (des triangulations), des surfaces de Riemann immergées dans un espace de plus grande dimension, ou autres ... L'observation, est que dans de très nombreux cas, une fois que l'on sait énumérer les surfaces ayant la topologie d'iun disque, alors une formule universelle donne, par récurrence sur la topologie (la caractéristique d'Euler), le nombre de surface de toute autre topologie. Cette récurrence est universelle dans le sens où elle est la même pour tous les ensembles de surfaces considérés, c'est la "Récurrence Topologique". Partant de la fonction comptant les disques (qu'on appelle courbe spectrale), on obtient toutes les autres par récurrence. De là, l'idée d'appliquer la même récurrence en partant d'une fonction (courbe spectrale) arbitraire: on définit les "invariants de la courbe spectrale". Ces invariants ont des propriétés mathématiques remarquables. Et de nombreux autres invariants introduits en géométrie (invariants de Gromov-Witten, invariants de noeuds,...) sont en fait des cas particuliers de ces nouveaux invariants.

Un nombre considérable de modèles macroscopiques ont été introduits ces dernières années pour décrire les mouvements de foules. Nous nous focaliserons sur une classe particulière de modèles, fondés sur des principes rudimentaires en termes de modélisation: chaque individu cherche à réaliser un certain objectif (par exemple sortir d’une pièce au plus vite), mais, du fait de la congestion (deux personnes ne peuvent pas être au même endroit au même moment), la vitesse effective de l’ensemble est assujettie à rester dans un certain ensemble. On définit cette vitesse effective comme la plus proche de la vitesse souhaitée parmi les vitesses admissibles (au sens des moindres carrés). Malgré son indigence, ce modèle possède une structure mathématique assez riche. Nous évoquerons en premier lieu les résultats d’analyse convexe qui permettent d'assurer le caractère bien posé de la version microscopique de ce modèle (les gens sont assimilés à des disques rigides). La version macroscopique du modèle résiste aux outils d’analyse usuels des EDP d’évolution, et nous montrerons comment le cadre du transport optimal permet, en respectant le caractère Lagrangien de la description du mouvement, de transposer au niveau macroscopique certaines techniques a priori réservées à la description microscopique nativement Lagrangienne, et de donner un cadre théorique sain à ce type d’équations d’évolution non lisses. Nous détaillerons les analogies et les différences entre les deux niveaux de description, qui éclairent sur la géométrie de l’espace de Wasserstein (espace des mesures de probabilité muni de la distance associée au transport optimal).

Résumé : Le but de cet exposé est de présenter quelques résultats récents sur les propriétés de certaines fonctions aléatoires issues de la géométrie. Un exemple typique est le suivant : si $\lambda$ est une grande valeur propre du laplacien sur la sphère $S^2$, l’espace propre correspondant est de grande dimension, et on peut y choisir une fonction propre aléatoirement suivant la mesure gaussienne standard ; on s’intéresse alors aux propriétés asymptotiques de cette fonction $\phi\lambda$ dans la limite $\lambda \to \infty$. En particulier, on peut se demander quelle est la structure du domaine ${z : \phi\lambda(z) > 0}$ : est-il formé d’une multitude de petites composantes connexes, ou bien comporte-t-il une composante dont la taille reste d’ordre $1$ pour $\lambda$ grand ? Cette question précise reste ouverte, mais j’expliquerai comment on peut appliquer des méthodes issues de la théorie de la percolation pour l’attaquer, et obtenir des résultats pour des modèles reliés.

Travail effectué avec Damien Gayet (Institut Fourier, Université Grenoble-Alpes).

Et deux illustrations, ci-jointes : la première c’est l’un des modèles reliés dont je parlerai (et que je définirai proprement mais c’était difficile à faire dans un résumé), et la seconde c’est une réalisation de la percolation critique sur le réseau carré. Dans les deux cas, la composante connexe de l’origine est coloriée en rouge.

Résumé : En 1979 T. Jorgensen surprend les géomètres en construisant une variété hyperbolique de dimension 3 qui fibre sur le cercle. Trente trois ans plus tard I. Agol, répondant positivement à une question de W. Thurston et en se basant sur des travaux de D. Wise, démontre que toute variété hyperbolique de dimension 3 possède en fait un revêtement fini qui fibre sur le cercle. Dans cet exposé je commencerai par construire une exemple explicite de variété hyperbolique de dimension 3 qui fibre sur le cercle, en suivant une idée de Thurston. La construction est élémentaire et peut être rendue complètement visuelle. L'exposé sera ainsi constitué d'une succession de petits films, réalisés avec Jos Leys. En commentant ces films j'essaierai d'expliquer comment certaines des idées derrière cette construction d'une variété hyperbolique fibrée sont à la base des travaux d'Agol et Wise.

La théorie des chemins rugueux a été inventée il y a une quinzaine d'années par T. Lyons et pose un cadre nouveau pour l'étude des équations différentielles déterministes contrôlées par des signaux peu réguliers. Itô avait inventé un tel cadre dans les années 40 pour donner un sens et résoudre des équations différentielles stochastiques, contrôlées par un mouvement brownien, étendu depuis dans sa plus grande généralité via la théorie de l'intégrale stochastique. En dépit de sa grande flexibilité, cette notion d'intégrale souffre de l'avantage qui fait sa force : le fait qu'il s'agisse d'une construction purement probabiliste, qui repose dans ses fondements sur la notion de martingale. Les besoins de la modélisation ont cependant fait apparaître la nécessité d'un cadre dans lequel donner un sens et résoudre des équations différentielles de la forme

(1) dy = f(y) dx

pour des signaux xt qui ne soient pas des semi-martingales. C'est un tel cadre qu'offre la théorie des chemins rugueux pour l'étude d'équations déterministes de la forme (1), et dont la morale première est le fait qu'il faut plus que le seul contrôle (xt) pour donner un sens et résoudre l'équation (1). Dans son cadre le plus simple, il faut adjoindre à (xt) la donnée a priori de quantités jouant le rôle des intégrales itérées :de x contre lui-même, dépourvues de sens pour un chemin (xt) trop irrégulier. En contre-partie de cette complication de la notion de contrôle, la solution de (1), lorsqu'elle est unique, s'avère être une fonction continue du contrôle (x,X), un gain formidable lorsqu'on sait que la solution d'une équation différentielle stochastique n'est qu'une fonction mesurable du mouvement brownien, sans qu'il soit possible de dire mieux en toute généralité.

La théorie a maintenant atteint un stade de maturité qui en permet un abord élémentaire. J'en expliquerai une approche possible et décrirai quel genre de bénéfices la continuité de l'application 'solution' apporte.

Résumé : "Grothendieck considérait que la notion de topos était, avec celle de motif, la notion la plus importante qu'il ait introduite en mathématiques, et il s'est plaint amèrement qu'elle ait été négligée et dénigrée après son départ de la communauté scientifique. Le but de l'exposé sera d'expliquer ce que sont les topos de Grothendieck et d'illustrer comment ils se relient à de nombreuses parties des mathématiques, bien au-delà de leur rôle classique de pourvoyeurs d'invariants cohomologiques. L'exposé mettra l'accent sur la dualité entre les topos et les sites, telle qu'elle est exploitée dans les travaux d'une jeune mathématicienne qui a repris l'étude générale des topos de Grothendieck et de leurs applications, Olivia Caramello, et aussi dans certains travaux récents d'Alain Connes. On cherchera en particulier à montrer comment les topos peuvent devenir un moyen d'exploration mathématique."

Résumé : Entre 1895 et 1904, Henri Poincaré a fondé la topologie algébrique (alors appelée Analysis situs) en publiant une série de six mémoires révolutionnaires. Ces textes fondateurs sont écrits dans le style inimitable de Poincaré : les idées abondent… et côtoient les erreurs... L’ensemble représente un peu plus de 300 pages de mathématiques exceptionnelles et, 120 ans plus tard, le contenu de ces mémoires reste non seulement d’actualité mais constitue un passage très recommandé pour tout apprenti topologue, comme l’explique Henri Paul de Saint-Gervais dans un travail récent que nous essaierons de présenter.