Colloquium (archives)

Les inégalités fonctionnelles (de Sobolev, Sobolev logarithmiques, etc.) permettent de préciser le comportement en temps petit et en temps grand de solutions de certaines EDP d'évolution (chaleur, Fokker-Planck, milieux poreux, etc.). Par ailleurs, Felix Otto a montré que certaines de ces équations peuvent s'interpréter comme un flot gradient dans un espace de mesures de probabilité (et les inégalités fonctionnelles associées comme des propriétés de convexité de certaines fonctionnelles). On présentera ces travaux fondateurs et certains de leurs développements, classiques ou plus récents.

Parmi les manières de comprendre les groupes (dénombrables, de type fini), une méthode instructive est de lancer une marche au hasard sur le groupe : les propriétés asymptotiques de la marche en disent beaucoup sur la géométrie du groupe, et sur sa structure algébrique. Par exemple, la manière qu'a la marche de tendre vers l'infini est significative, et permet de construire des compactifications naturelles du groupe. Je m’intéresserai principalement à un événement exceptionnel, la probabilité de retour à l’origine au temps n. Dans de larges classes de groupes, elle est exponentiellement petite, mais on peut parfois être plus précis : il apparaît une correction polynomiale conjecturalement liée à certaines caractéristiques géométriques du groupe. Je décrirai précisément ce qui se passe lorsque le groupe est le groupe fondamental d’une surface, ou plus généralement un groupe hyperbolique

On définira le type topologique d’un germe (X,p) de surface complexe et on expliquera qu’il ne dépend que de son ”bord” que l’on notera M. Dans la premi`ere partie de l’expose, on supposera que p est un point singulier isol ́e. Dans ce cas le ”bord” de (X,p) est une trois vari ́et ́e graph ́ee au sens de Waldhausen. On donnera des exemples. On présentera des résultats classiques de D. Mumford, F. Hirzebruch et W. Neumann. En particulier le r ́esultat de D. Mumford: Si le ”bord”, M, de (X,p) est simplement connexe alors (X,p) est lisse au point p. Dans la seconde partie on supposera que le lieu singulier de (X, p) est un germe de courbe (Γ,p). On décrira la topologie de M en fonction du bord M ̃ de la normalisation ν : (X ̃,p′) → (X,p) de (X,p). On montrera que M est une trois variété topologique si et seulement si (X,p) est localement irr ́eductible le long de Γ \ p. On énoncera la conjecture de D.T. Lˆe. Quand M n’est pas une variété topologique, on expliquera les types de singularités que M peut avoir (en fait il n’y a que deux types possibles). On donnera des exemples. Dans une troisième partie on supposera que (X, 0) est un germe de surface en l’origine de C3 avec un lieu singulier non-isolé. Dans des travaux communs avec A.Pichon on montre que le bord de la fibre de Milnor est aussi une trois vari ́et ́e graph ́ee au sens de Waldhausen et en g ́en ́eral non-hom ́eomorphe au bord de sa normalisée.

Le problème posé est le suivant. Soit $E\subset \R^n$ un ensemble borélien de mesure finie et $\Lambda \subset \R^n$ un ensemble discret. Nous voulons savoir dans quels cas les fonctions $\exp(i \lambda\cdot x), \lambda\in \Lambda,$ forment une base (de Riesz) de $L^2(E).$ La réponse que Nir Lev et Alexander Olevskii apportent à cette question est un beau voyage qui nous amènera à visiter la théorie des nombres, la théorie du contrôle (Serguei Avdonin) et les quasi-cristaux. Cet exposé non technique est ouvert à tous.

Affiche - Résumé

Il est bien connu que, pour un système hamiltonien, l'existence d'une symétrie torique fournit de précieux outils d'étude. Les applications d'une telle idée sont multiples, allant de la méthode de moyennisation en mécanique classique aux variétés toriques, en passant par les formes normales de Birkhoff et les champs magnétiques. Certaines de ces méthodes ont été appliquées avec succès à des problèmes spectraux de type "quantique" ou semiclassiques. Je raconterai quelques résultats récents sur les systèmes semi-toriques, les opérateurs non-autoadjoints à flot périodique, et les laplaciens magnétiques.

Les estimations de Strichartz pour l’équation des ondes apparaissent pour la première fois, comme il se doit, dans les travaux de Strichartz : Restriction of Fourier Transform to Quadratic Surfaces and Decay of Solutions ofWave Equations. Duke Math. J, 44 (1977).

Elles constituent aujourd’hui un outil fondamental pour l’étude des équations nonlinéaires, ainsi que pour les estimations des projecteurs spectraux en analyse harmonique. Dans cet exposé, après avoir présenté ces estimations, j’en donnerai une application simple à la résolution d’équations d’ondes non-linéaires. Enfin, j’exposerai un problème ouvert concernant ces estimations dans les domaines à bord.

Affiche

En avril 2013, Yitang Zhang découvre un raffinement de la méthode de Goldston Pintz Y\i ld\i r\i m qui permet de montrer inconditionnellement qu'il existe une infinité de nombres premiers consécutifs dont la différence est inférieure à 70 millions. Cette découverte est un projet considérable. S'en suit une démarche exceptionnelle de recherche collaborative ouverte appelée polymath8 à partir du blog du mathématicien Terrence Tao. En six mois la borne est divisée par plus de 10 mille grâce ce travail collectif.

Au moment où sa valeur commence à se stabiliser à 4680, James Maynard post doc à Montréal rend public une nouvelle méthode plus simple qui permet de descendre à 600. Mais polymath8 n'a pas dit son dernier mot et réussit à abaisser encore la borne à 246 en optimisant numériquement la méthode de Maynard.

Dans cet exposé, seront détaillées quelques étapes de ces progrès spectaculaires, seront posées quelques questions concernant une possible nouvelle manière de faire de la recherche en mathématiques : Découverte solitaire (Zhang, Maynard) ou travail collectif (Polymath8).

Dans de nombreux domaines tels que la finance, l’économétrie, l’hydrologie, on observe des séries temporelles à longue mémoire. C’est une propriété de dépendance à long terme qui implique des comportements asymptotiques atypiques, par exemple le processus des sommes partielles ne converge pas vers le mouvement Brownien (Th. de Donsker).

L’agrégation a été introduite dans les années 80 pour expliquer la présence de séries à longue mémoire en économétrie. Considérons N copies d’un processus stochastique, le processus agrégé (s’il existe) est défini comme la limite (quand N tend vers l’infini) de la moyenne renormalisée de ces processus.

Dans cet exposé, nous montrons qu’à partir de processus “simples”, comme les processus markoviens linéaires, on peut obtenir des processus agrégés à longue mémoire. Nous présentons ensuite quelques techniques d’estimation associées à ces modèles.

La K-théorie doit son nom au mot "classe" ("Klasse" en allemand) ; c'est au départ une construction algébrique universelle qui associe un groupe à un monoïde en formant certaines classes d'équivalence, de façon analogue à la construction des nombres entiers à partir des nombres naturels. Quillen a introduit la K-théorie algébrique supérieure des anneaux en plaçant cette construction dans le contexte plus flexible de la topologie ; sa théorie s'est révélée étroitement liée à des questions arithmétiques profondes. Elle fut généralisée ensuite par Waldhausen à des "anneaux à homotopie près" ou "S-algèbres", établissant un point de contact novateur entre l'arithmétique et la géométrie.

Dans cet exposé, qui s'adresse au non-specialiste, je proposerai une introduction à cette théorie, accompagnée d'un petit choix de résultats anciens et récents.

TBA.

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