Colloquium (archives)

Résumé : Entre 1895 et 1904, Henri Poincaré a fondé la topologie algébrique (alors appelée Analysis situs) en publiant une série de six mémoires révolutionnaires. Ces textes fondateurs sont écrits dans le style inimitable de Poincaré : les idées abondent… et côtoient les erreurs... L’ensemble représente un peu plus de 300 pages de mathématiques exceptionnelles et, 120 ans plus tard, le contenu de ces mémoires reste non seulement d’actualité mais constitue un passage très recommandé pour tout apprenti topologue, comme l’explique Henri Paul de Saint-Gervais dans un travail récent que nous essaierons de présenter.

La stabilité d'un point fixe totalement elliptique ou d'un tore quasi-périodique invariant d'un système hamiltonien peut être analysée à partir de plusieurs points de vue : la stabilité au sens topologique classique (stabilité de Lyapunov), ou la stabilité au sens probabiliste que considère la théorie KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser), ou la stabilité effective où il s'agit d'étudier la stabilité quantitativement dans le temps. On présentera plusieurs résultats de stabilité et d'instabilité dans ces trois directions.

Most living or social systems consist of a large number of agents interacting through elementary rules involving only neighbouring agents. In spite of their simplicity, these interactions drive the system towards a self-organized coherent collective behavior. The emergence of collective dynamics poses many mathematical challenges which will be outlined in this talk. We will use the example of the Vicsek model (in which self-propelled particles interact through local alignment) to show how the loss of conservations and the analysis of phase transitions can be apprehended. Examples of applications, notably to sperm-cell collective dynamics will be presented.

Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif complexe. Les transformations birationnelles apparaissent dans de nombreux contexts. Par exemple lorsqu'on int`egre une \'equation diff\'erentielle du type $y'=f(x,y)$ avec f homog`ene on fait un changement de variables $(x,t)\mapsto (x,t/x)$ ; cette transformation aussi appel\'ee \'eclatement est le prototype de transformations birationnelles. Un autre exemple est le suivant : Noether a d\'emontr\'e que si C est une courbe alg`ebrique plane il existe une transformation birationnelle qui transforme C en une courbe dont les points singuliers sont ordinaires (au voisinage de chacun d'eux la courbe est réunion de "branches" lisses se coupant deux `a deux transversalement).

Apr`es avoir introduit le groupe des transformations birationnelles du plan projectif complexe j'en donnerai quelques propri\'et\'es en faisant un parall`ele avec les groupes lin\'eaires. Puis j'\'evoquerai des propri\'et\'es g\'eom\'etriques et dynamiques comme par exemple la classification de ses \'el\'ements à conjugaison birationnelle pr`es.

Les inégalités fonctionnelles (de Sobolev, Sobolev logarithmiques, etc.) permettent de préciser le comportement en temps petit et en temps grand de solutions de certaines EDP d'évolution (chaleur, Fokker-Planck, milieux poreux, etc.). Par ailleurs, Felix Otto a montré que certaines de ces équations peuvent s'interpréter comme un flot gradient dans un espace de mesures de probabilité (et les inégalités fonctionnelles associées comme des propriétés de convexité de certaines fonctionnelles). On présentera ces travaux fondateurs et certains de leurs développements, classiques ou plus récents.

Parmi les manières de comprendre les groupes (dénombrables, de type fini), une méthode instructive est de lancer une marche au hasard sur le groupe : les propriétés asymptotiques de la marche en disent beaucoup sur la géométrie du groupe, et sur sa structure algébrique. Par exemple, la manière qu'a la marche de tendre vers l'infini est significative, et permet de construire des compactifications naturelles du groupe. Je m’intéresserai principalement à un événement exceptionnel, la probabilité de retour à l’origine au temps n. Dans de larges classes de groupes, elle est exponentiellement petite, mais on peut parfois être plus précis : il apparaît une correction polynomiale conjecturalement liée à certaines caractéristiques géométriques du groupe. Je décrirai précisément ce qui se passe lorsque le groupe est le groupe fondamental d’une surface, ou plus généralement un groupe hyperbolique

On définira le type topologique d’un germe (X,p) de surface complexe et on expliquera qu’il ne dépend que de son ”bord” que l’on notera M. Dans la premi`ere partie de l’expose, on supposera que p est un point singulier isol ́e. Dans ce cas le ”bord” de (X,p) est une trois vari ́et ́e graph ́ee au sens de Waldhausen. On donnera des exemples. On présentera des résultats classiques de D. Mumford, F. Hirzebruch et W. Neumann. En particulier le r ́esultat de D. Mumford: Si le ”bord”, M, de (X,p) est simplement connexe alors (X,p) est lisse au point p. Dans la seconde partie on supposera que le lieu singulier de (X, p) est un germe de courbe (Γ,p). On décrira la topologie de M en fonction du bord M ̃ de la normalisation ν : (X ̃,p′) → (X,p) de (X,p). On montrera que M est une trois variété topologique si et seulement si (X,p) est localement irr ́eductible le long de Γ \ p. On énoncera la conjecture de D.T. Lˆe. Quand M n’est pas une variété topologique, on expliquera les types de singularités que M peut avoir (en fait il n’y a que deux types possibles). On donnera des exemples. Dans une troisième partie on supposera que (X, 0) est un germe de surface en l’origine de C3 avec un lieu singulier non-isolé. Dans des travaux communs avec A.Pichon on montre que le bord de la fibre de Milnor est aussi une trois vari ́et ́e graph ́ee au sens de Waldhausen et en g ́en ́eral non-hom ́eomorphe au bord de sa normalisée.

Le problème posé est le suivant. Soit $E\subset \R^n$ un ensemble borélien de mesure finie et $\Lambda \subset \R^n$ un ensemble discret. Nous voulons savoir dans quels cas les fonctions $\exp(i \lambda\cdot x), \lambda\in \Lambda,$ forment une base (de Riesz) de $L^2(E).$ La réponse que Nir Lev et Alexander Olevskii apportent à cette question est un beau voyage qui nous amènera à visiter la théorie des nombres, la théorie du contrôle (Serguei Avdonin) et les quasi-cristaux. Cet exposé non technique est ouvert à tous.

Affiche - Résumé

Il est bien connu que, pour un système hamiltonien, l'existence d'une symétrie torique fournit de précieux outils d'étude. Les applications d'une telle idée sont multiples, allant de la méthode de moyennisation en mécanique classique aux variétés toriques, en passant par les formes normales de Birkhoff et les champs magnétiques. Certaines de ces méthodes ont été appliquées avec succès à des problèmes spectraux de type "quantique" ou semiclassiques. Je raconterai quelques résultats récents sur les systèmes semi-toriques, les opérateurs non-autoadjoints à flot périodique, et les laplaciens magnétiques.

Les estimations de Strichartz pour l’équation des ondes apparaissent pour la première fois, comme il se doit, dans les travaux de Strichartz : Restriction of Fourier Transform to Quadratic Surfaces and Decay of Solutions ofWave Equations. Duke Math. J, 44 (1977).

Elles constituent aujourd’hui un outil fondamental pour l’étude des équations nonlinéaires, ainsi que pour les estimations des projecteurs spectraux en analyse harmonique. Dans cet exposé, après avoir présenté ces estimations, j’en donnerai une application simple à la résolution d’équations d’ondes non-linéaires. Enfin, j’exposerai un problème ouvert concernant ces estimations dans les domaines à bord.

Affiche