Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Dans cet exposé, on montrera que toute variété algébrique réelle contient des hypersurfaces algébriques réelles de degré d dont les nombres de Betti croissent de l'ordre maximal, lorsque le degré d tend vers l'infini. L'existence de telles hypersurfaces est obtenue à l'aide de techniques probabilistes.

Après une introduction de certaines définitions de la géométrie de contact, je discuterai des résultats quantitatifs pour les nœuds et les sous-variétés legendriens comme la convergence C^0 et la non-compression. Travail en commun avec Georgios Dimitroglou Rizell.

Soit C l’espace de modules des hypersurfaces cubiques lisses de dimension 4. Dans cet exposé on introduira la cubique universelle au dessus de C, et on étudiera la géométrie birationnelle de sa restriction à certains lieux spéciaux contenus dans C. Notamment, en utilisant des résultats récents de Farkas-Verra et plus classiques de Mukai, nous prouverons que la cubique universelle au dessus des diviseurs de Hassett (que je vais introduire!) C(14),C(26) et C(42) est unirationnelle. Le résultat dépend fortement de l’existence des surfaces K3 associées à ces cubiques, et de la géométrie birationnelle des espaces de modules de ces surfaces. En général, nous observerons aussi que, pour d>>0, il y a infiniment de valeurs de d pour lesquelles la cubique au dessus de C(d) ne peut pas être unirationnelle.

En suivant les conjectures de Campana sur les variétés « spéciales », nous discuterons les propriétés topologiques des variétés avec beaucoup de points rationnels sur les corps de fonctions. Travail en commun avec A. Javanpeykar.

En géométrie énumérative, les invariants de Gromov–Witten et de Welschinger sont connus pour être des outils très puissants pour étudier le comptage de courbes (complexes et réelles) passant par une contrainte générique dans les variétés projectives. Alors que ces invariants dans les variétés de dimension deux ont été systématiquement étudiés ces dernières années, de nombreuses études dans le cas de dimension trois restent à explorer, en mettant l'accent sur le cas réel. Dans cet exposé, je présente une adaptation d'une stratégie proposée par Brugallé–Georgieva en 2016 pour calculer ces deux invariants de l'espace projectif aux variétés del Pezzo de dimension 3.

La diagonale ensembliste d'un polytope a le défaut rédhibitoire de ne pas être cellulaire: son image n'est pas une union de faces. On est donc amené à chercher une approximation cellulaire de la diagonale. Une telle approximation, dans le cas des simplexes et des cubes, est d'une importance fondamentale en topologie algébrique, car elle permet de définir le produit cup en cohomologie. Je présenterai dans cet exposé une méthode générale, issue de la théorie des polytopes de fibres développée par Billera et Sturmfels, qui permet de résoudre ce problème pour toute famille de polytopes. J'expliquerai ensuite comment l'on peut se servir de cette méthode pour définir de nouvelles structures supérieures en topologie algébrique, notamment un produit tensoriel d'opérades à homotopie près ou encore un produit tensoriel fonctoriel de catégories A-infini.

L'homologie de contact Legendrienne est un invariant qui permet de déterminer si deux Legendriennes sont isotopes ou non. Cependant, son domaine d'application est bien plus vaste. Elle a par exemple été utilisée par Bourgeois, Ekholm et Eliashberg pour calculer des invariants symplectiques des domaines de Weinstein. Dans cet exposé, je relierai l'algèbre A-infty de Floer d'une Lagrangienne exacte à l'algèbre différentielle de Chekanov-Eliashberg (dont l'homologie est l'homologie de contact Legendrienne) de son relevé Legendrien dans la contactization circulaire. Je présenterai l'idée de la preuve, qui consiste à exprimer le dual de Koszul de l'algèbre de Chekanov-Eliashberg comme colimite homotopique d'un diagramme de catégories A-infty.

Soit G un groupe fini agissant sans point fixe sur une surface topologique S. Comment peut agir G sur le premier groupe d'homologie rationnelle de S? Je vais expliquer que c'est toujours de la même façon, raffinant un théorème de Chevalley et Weil (1934). Travail en commun avec Jean Barge.

A plane real algebraic curve is said to be hyperbolic with respect to a real point if every real line going through that point intersect the curve in a maximal number of real points, counted with multiplicities. Using tools of (real) tropical intersection theory, we give a combinatorial characterisation of hyperbolic plane curves near the non-singular tropical limit, and explore several questions around the tropical analogue of the hyperbolicity locus.

The integration procedure associates an infinity-groupoid to a (complete/nilpotent) homotopy Lie algebra. It dates back to Hinich and Getzler. Recently, a new method was developed by Robert-Nicoud and Vallette: it relies on the representation of the Getzler functor with a universal object. The goal of this talk is to generalize their procedure to curved absolute homotopy Lie algebras. "Absolute algebras" are a new type of algebraic structures that come naturally equipped with infinite summations, without an underlying topology. We will explain how to integrate this new type of objects, generalizing the above cases, and explore their relationship with rational homotopy theory, proving that they provide us with rational models for non-pointed finite type nilpotent spaces.