Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Dans cet exposé, après avoir défini le champ de Teichmüller d'une variété compacte complexe, je m'interrogerai sur les pathologies qu'il peut exhiber et qui en font un objet parfois très éloigné d'un espace analytique. Grâce à la dualité de points de vue que permet le formalisme des champs, ces pathologies sont également des pathologies des familles de variétés complexes. Il s'agit d'un travail en cours.

Partitioned braid groups (sometimes called "mixed braid groups") are subgroups of the braid group standing between the pure braid group Pn and the whole braid group Bn. On the one hand, the lower central series of Bn is almost trivial. On the other hand, the lower central series of Pn is a very rich object, encoding finite type invariants of braids. As a consequence, one can expect partitioned braid groups to display a range of intermediate behaviors, and this is indeed what we observe. In this talk, we will explore these different behaviours and give an answer to the first question one can ask about these lower central series: when do they stop? Even this simple question turns out to be a difficult one, especially when one considers its generalization to braids on surfaces. However, we will be able to answer it almost completely, leaving open only some cases of partitioned braids on the projective plane.

Je parlerai de feuilletages symplectiques, et plus précisément de leur sous classe de ceux qui s’appellent "forts". Ces objets semblent plutôt rigides, puisque les techniques de courbes pseudo-holomorphes et de sections asymptotiquement holomorphes marchent très bien avec eux. Je présenterai un (en cours) en collaboration avec Klaus Niederkrüger et Lauran Toussaint qui donne une nouvelle obstruction pour qu'un feuilletage symplectique soit fort. Plus précisément, cette obstruction est une version symplectique des cycles évanouissants pour les feuilletages lisses, et elle a un fonctionnement similaire au Plastikstufe introduit par Niederkrüger '06 dans le cas des structures de contact.

L'homologie de Heegaard Floer est un invariant de variétés de dimension trois closes défini par une homologie de Floer d'intersection lagrangienne dans le produit symétrique d'une surface de Heegaard. Je montrerai que à toute variété à bord on peut associer un objet dans l'enveloppe triangulé de la catégorie de Fukaya compacte d'un produit symétrique du bord et que, étant donnée une variétés de dimension trois séparée en deux morceaux par une surface, son homologie de Heegaard Floer est isomorphe à l'homologie des morphismes entre les objets associés aux deux morceaux. Comme application, je montrerai que la mutation de genre deux ne change pas l'homologie de Heegaard Floer. Il s'agit d'un travail en cours en collaboration avec Ina Petkova.

Travail en commun avec Nicolas Vichery.

Dans les années 90 Claude Viterbo a introduit des "invariants spectraux" pour une lagrangienne exacte L dans le cotangent d'une variété compacte M et, à partir de ces invariants, une norme pour L. Il a aussi conjecturé que, si on munit M d'une métrique et que L est dans le fibré en boules de rayon 1 du cotangent, alors la norme spectrale de L est bornée indépendamment de L (au moins si M est un tore).

J'expliquerai une preuve de cette conjecture lorsque M est un quotient d'un groupe de Lie compact. Notre méthode utilise la théorie microlocale des faisceaux de Kashiwara-Schapira et une bonne partie de l'exposé sera une présentation de cette théorie et de ses liens avec la géométrie symplectique.

Dans cet exposé, on montrera que toute variété algébrique réelle contient des hypersurfaces algébriques réelles de degré d dont les nombres de Betti croissent de l'ordre maximal, lorsque le degré d tend vers l'infini. L'existence de telles hypersurfaces est obtenue à l'aide de techniques probabilistes.

Après une introduction de certaines définitions de la géométrie de contact, je discuterai des résultats quantitatifs pour les nœuds et les sous-variétés legendriens comme la convergence C^0 et la non-compression. Travail en commun avec Georgios Dimitroglou Rizell.

Soit C l’espace de modules des hypersurfaces cubiques lisses de dimension 4. Dans cet exposé on introduira la cubique universelle au dessus de C, et on étudiera la géométrie birationnelle de sa restriction à certains lieux spéciaux contenus dans C. Notamment, en utilisant des résultats récents de Farkas-Verra et plus classiques de Mukai, nous prouverons que la cubique universelle au dessus des diviseurs de Hassett (que je vais introduire!) C(14),C(26) et C(42) est unirationnelle. Le résultat dépend fortement de l’existence des surfaces K3 associées à ces cubiques, et de la géométrie birationnelle des espaces de modules de ces surfaces. En général, nous observerons aussi que, pour d>>0, il y a infiniment de valeurs de d pour lesquelles la cubique au dessus de C(d) ne peut pas être unirationnelle.

En suivant les conjectures de Campana sur les variétés « spéciales », nous discuterons les propriétés topologiques des variétés avec beaucoup de points rationnels sur les corps de fonctions. Travail en commun avec A. Javanpeykar.

En géométrie énumérative, les invariants de Gromov–Witten et de Welschinger sont connus pour être des outils très puissants pour étudier le comptage de courbes (complexes et réelles) passant par une contrainte générique dans les variétés projectives. Alors que ces invariants dans les variétés de dimension deux ont été systématiquement étudiés ces dernières années, de nombreuses études dans le cas de dimension trois restent à explorer, en mettant l'accent sur le cas réel. Dans cet exposé, je présente une adaptation d'une stratégie proposée par Brugallé–Georgieva en 2016 pour calculer ces deux invariants de l'espace projectif aux variétés del Pezzo de dimension 3.