Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Soit G un groupe fini agissant sans point fixe sur une surface topologique S. Comment peut agir G sur le premier groupe d'homologie rationnelle de S? Je vais expliquer que c'est toujours de la même façon, raffinant un théorème de Chevalley et Weil (1934). Travail en commun avec Jean Barge.

A plane real algebraic curve is said to be hyperbolic with respect to a real point if every real line going through that point intersect the curve in a maximal number of real points, counted with multiplicities. Using tools of (real) tropical intersection theory, we give a combinatorial characterisation of hyperbolic plane curves near the non-singular tropical limit, and explore several questions around the tropical analogue of the hyperbolicity locus.

The integration procedure associates an infinity-groupoid to a (complete/nilpotent) homotopy Lie algebra. It dates back to Hinich and Getzler. Recently, a new method was developed by Robert-Nicoud and Vallette: it relies on the representation of the Getzler functor with a universal object. The goal of this talk is to generalize their procedure to curved absolute homotopy Lie algebras. "Absolute algebras" are a new type of algebraic structures that come naturally equipped with infinite summations, without an underlying topology. We will explain how to integrate this new type of objects, generalizing the above cases, and explore their relationship with rational homotopy theory, proving that they provide us with rational models for non-pointed finite type nilpotent spaces.

Soit Gamma un sous-groupe discret co-compact et sans torsion de SL(2,C). On sait, depuis les travaux de Ghys, que l'espace de Kuranishi du quotient de SL(2,C) par Gamma est donné par (le germe analytique de) la variété de représentation Hom(Gamma,SL(2,C)) pointée au morphisme trivial. L'idée est de déformer l'holonomie de la (SL(2,C)xSL(2,C), SL(2,C))-structure naturelle des quotients SL(2,C)/Gamma afin d'obtenir de nouvelles structures complexes. Depuis, les travaux de Kassel ont montré que l'ensemble des représentations qui sont l'holonomie d'une telle (G,X)-structure complète (dites admissibles), forme un ouvert de la variété de représentation. Après avoir rappelé les résultats de Ghys et ceux de Kassel, je m'intéresserai alors aux déformations des structures complexes des variétés obtenues par la construction de Ghys et montrerai qu'il existe un ouvert V dans la variété de représentation tel que la famille tautologique au dessus de V est complète en tous points. De plus, modulo conjugaison par SL(2,C), cette famille devient verselle. Ce résultat nous amène donc à considérer le champ quotient quotient de l'ouvert V par SL(2,C) et nous montrons qu'il forme un sous-champ ouvert dans le champ de Teichmüller de SL(2,C)/Gamma.

On propose une construction géométrique permettant de comprendre ensemble les fibres de Milnor topologique et motivique associées à une application régulière complexe. Cette construction passe soit par la géométrie logarithmique, soit par une version adaptée de la déformation (réelle orientée) sur le cône normal.

Le problème de rationalité des hypersurfaces cubiques lisses complexes de dimension 4 est un des problèmes les plus mystérieux en géométrie algébrique. On s'attend à ce que la cubique générale soit non rationnelle, mais pour l'instant uniquement des exemples d'hypersurfaces cubiques rationnelles sont connues. Elles sont "spéciales", c'est-à-dire des hypersurfaces cubiques contenant une surface algébrique non homologue à une intersection complète. Ces hypersurfaces cubiques spéciales forment une union infinie dénombrable de diviseurs Cd (appelés diviseurs de Hassett) dans l'espace de modules des hypersurfaces cubiques C. Dans cet exposé, nous étudierons les hypersurfaces cubiques à travers les théories de Hodge et des réseaux. Nous nous intéresserons surtout à l'intersection des diviseurs de Hassett Cd dans C.

Dans cet exposé j'expliquerai la relation entre l'étude des espaces fibrés de Mori rationnels avec l'action d'un groupe et l'étude des sousgroupes maximaux connexes du groupe de Cremona. Dans le cas d'un espace fibré de Mori f: X->B sur une courbe rationnelle B, je présenterai un résultat d'existence de fermés f-horizontaux invariants par l'actions du groupe d'automorphismes de X ainsi que des exemples. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Jérémy Blanc.

Je définirai une notion de pavages de complexes simpliciaux, en montrerai l'existence après subdivisions stellaires et discuterai leurs liens avec la théorie de Morse discrète et la notion de h-vecteur. Des suites spectrales associées convergent vers l'homologie et la cohomologie du complexe.

In this talk I will define Gaussian random fields on manifolds and study their topological and geometric properties.

The first main result is a probabilistic version of Thom transversality theorem - a necessary lubricant for the generic argument in Differential Topology (it is a more general version of Sard's theorem) - that allows to change the word "generic" to "almost every" in almost every situations.

Secondly, I will address the problem of describing the asymptotic behaviour of a sequence of Gaussian Random Fields. The prototypical example is a sequences of random (Kostlan) polynomials having {degree $\to\infty$}.

I will present a general method to deal with the limit probability of differential geometric events (for instance: the probability of having a critical point inside a certain domain; the probability that a level set is diffeomorphic to some fixed closed manifold; etc.) and apply it to the case of Kostlan polynomials to obtain a generalization of the results by Gayet and Welschinger. Time permitting, I will discuss how to study the expected topology (Betti numbers) of singular sets.