Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

In dimensions greater than four, the classification of smooth manifolds is an unsolvable problem, but manifolds can still be classified up to cobordism.

From this perspective, Liouville cobordisms provide a powerful tool for studying contact manifolds in high dimensions. In this talk, I will explain how Liouville cobordisms can be used to construct exact locally conformally symplectic (LCS) manifolds, in particular the LCS mapping tori associated with a contactomorphism. I will then use this construction to study the isomorphism classes of LCS mapping tori and explore their connections with the contact mapping class group.

Quels espaces lenticulaires admettent un plongement lisse et injectif dans le plan projectif complexe ? Combien peut-on en plonger, tels qu'il soient deux à deux disjoints ? La question vient de la géométrie algébrique complexe, où Hacking et Prokhorov donnent une réponse complète en termes de triplets de Markov. Le même résultat est valable en géométrie symplectique, comme montré par Evans et Smith. Topologiquement, la situation est plus riche, et des exemples non-symplectiques ont été donnés par Lisca et Parma. Dans cet exposé, je parlerai de nouvelles obstructions et constructions. Il s'agit d'un travail commun avec Brendan Owens.

Fibered links are those whose complement admits a fibration over the circle. They admit a simple description in terms of an open book, consisting of a fiber surface together with a self-diffeomorphism (called the monodromy), which is the return map of the fibration. This structure allows us to prove several results for fibered links. In this talk I will explain how to extend the concept of monodromy to all links, and show that it can be used to extend previous results to non-fibered links.

Les arrangements de droites dans le plan projectif — autrement dit, les unions finies de droites — apparaissent dans plusieurs domaines des mathématiques, notamment en topologie, en algèbre et en combinatoire. De nombreuses questions restent cependant ouvertes. Par exemple, la classification complète des arrangements complexes sans points doubles demeure inconnue, tout comme la liste exhaustive des arrangements simpliciaux réels, où les régions délimitées par les droites sont exclusivement triangulaires.

Dans l'idée de produire de nouveaux arrangements présentant des propriétés remarquables, nous introduisons des opérateurs agissant sur l’ensemble des arrangements de droites du plan.

Au cours de cet exposé, je présenterai des espaces de modules d’arrangements de droites invariants sous l’action de tels opérateurs. En particulier, nous verrons que la surface elliptique K1(n), située au-dessus de la courbe elliptique modulaire X1(n) (laquelle paramètre les courbes elliptiques munies d’un point de torsion d’ordre n > 3) peut également être interprétée comme la compactification de l’espace de modules de certains arrangements de droites.

Nous examinerons ensuite l’existence d’un opérateur agissant sur ces arrangements et, par conséquent, sur la surface elliptique K_1(n), et nous décrirons en détail son action.

Travail en collaboration avec Lukas Kühne (Bielefeld).

Dans un travail en collaboration avec Georgios Dimitroglou Rizell et Paolo Ghiggini nous associons à une sous-variété lagrangienne compacte L d'une variété de Weinstein W une représentation d'une algèbre différentielle graduée associée à W. Cette représentation a deux propriétés : son degré est caractérisé par l'intersection de la lagrangienne avec les co-âmes lagrangiennes de W et son espace de morphismes (dérivé) calcule l'homologie singulière de L. L'outil principal pour effectuer ce calcul est un triangle exact en homologie de Cthulhu que nous détaillerons dans cet exposé. Les définitions de base ainsi que le contexte dans lequel cette construction peut-être intéressante seront rappelés au préalable. Si le temps le permet, nous verrons comment dans un travail en cours nous plaçons cette construction dans un contexte plus catégorique.

In this talk, we show that if the image of an embedded Legendrian in a cosphere bundle under a contact homeomorphism is smooth, then it remains Legendrian and its Maslov class is preserved. Our proof is based on the microlocal sheaf theory, using the continuity of the interleaving distance of sheaves with respect to the C0-distance. This is joint work in preparation with Tomohiro Asano, Christopher Kuo, and Wenyuan Li.

In this talk, I will explain how to relate the Novikov ring and microlocal sheaf theory based on the works of Tamarkin and Vaintrob. This relation has been successfully applied to the irregular Riemann-Hilbert correspondence and symplectic geometry, and recently, Scholze revealed certain potential applications of the relation in analytic geometry. Surprisingly, we notice that the almost ring theory invented by Faltings for p-adic Hodge theory plays a central role in the related construction. After that, I will explain some applications of the idea in symplectic geometry.

This talk is based on a joint work with Tatsuki Kuwagaki.

Des modèles algébriques pour les types d'homotopie rationnels ont été proposés par Quillen en 1969 puis Sullivan en 1977. Le modèle de Quillen, utilisant les algèbres de Lie, permet de décrire les types d'homotopie rationnels simplement connexes, tandis que le modèle de Sullivan, utilisant les algèbres commutatives, décrit les types d’homotopie finis et nilpotents. Plus récemment, Buijs, Félix, Murillo et Tanré d’une part et Robert-Nicoud et Vallette d’autre part, ont étendu le modèle de Quillen au cas non-simplement connexe. Dans cet exposé, on présentera une théorie des invariants de Postnikov pour les algèbres de Lie qui est compatible avec le foncteur d’intégration de Robert-Nicoud et Vallette. On en déduira une intégration de la cohomologie de Chevalley-Eilenberg en la cohomologie d’espaces à coefficients locaux. Si le temps le permet, on exposera la motivation initiale pour construire une telle théorie des invariants de Postnikov, à savoir, une conjecture proposée par Félix et Tanré, qui relie les modèles en homotopie rationnelle et le modèle de Loday pour les n-types d’homotopie, i.e. les Cat^n-groupes. Si le temps le permet également, nous tenterons d’expliquer en quoi une théorie des invariants de Postnikov peut permettre d’axiomatiser les foncteurs d’intégrations.

Open book decompositions—known in various contexts as global Poincaré–Birkhoff sections, relative mapping tori, Milnor fibrations, fibered links, and spinnable structures—have arisen independently across several areas of mathematics. Introduced by Thurston and Winkelnkemper, they became a central tool in 3-dimensional contact topology through the groundbreaking work of Giroux, who established a one-to-one correspondence between contact structures up to isotopy and open book decompositions up to positive stabilization.

The strength of this correspondence lies in its combinatorial nature: an open book is determined by a mapping class group element of a surface with boundary, which in turn can be expressed in terms of Dehn twists along simple closed curves. As a result, problems in contact topology can be translated into combinatorial questions about curves on surfaces. This perspective enables explicit computations and offers a powerful framework for proving structural results.

In this talk, I will sketch a proof of the Giroux correspondence using the interplay between open book decompositions and Heegaard splittings. This is joint work with Joan Licata.

A differential graded algebraic structure A (e.g. an associative algebra, a Lie algebra, an operad, etc.) is formal if it is related to its homology H(A) by a zig-zag of quasi-isomorphisms preserving the algebraic structure. Kaledin classes were introduced as an obstruction theory fully characterizing the formality of associative algebras over a characteristic zero field. In this talk, I will present a generalization of Kaledin classes to any coefficients ring, to other algebraic structures (encoded by operads, possibly colored, or by properads), and to address a more general problem: the existence of homotopy equivalences between algebraic structures. I will prove new formality and homotopy equivalence results based on this obstruction theory, presenting applications in several domains such as algebraic geometry, representation theory and mathematical physics.