Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Le "square peg problem" est la question de savoir s'il existe sur toute courbe de Jordan quatre points qui forment un carré. Cette question a été résolue dans le cas d'une courbe de Jordan de longueur finie par Greene et Lobb sous la condition que la courbe soit contenue dans un disque d'aire deux fois l'aire entourée par la courbe. On verra comment aborder le problème avec des invariants spectraux et montrer le résultat pour une courbe de longueur finie quelconque.

Un exemple dans R^4 de domaine dynamiquement convexe non symplectomorphe à un domaine convexe a été récemment découvert par Chaidez et Edtmair répondant à une ancienne question ouverte. Dans cet exposé, nous présenterons une famille de tels domaines sans utiliser les méthodes de Chaidez et Edtmair. Nous montrerons que ces domaines sont arbitrairement loin des domaines convexes par rapport à la distance de Banach-Mazur symplectique (grossière) en utilisant un critère numérique explicite.

Ceci est un travail en collaboration avec J.Dardennes, V.Ramos et J.Zhang.

Le principe de Kontsevich-Rosenberg consiste à définir et comprendre des structures sur les algèbres associatives qui induisent des structures géométriques classiques sur leurs espaces de représentations. Les premières sont appelées versions "non-commutatives" des secondes. Ainsi, par exemple, les structures bisymplectiques introduites par Crawley-Boevey, Etingof et Ginzburg forment le pendant non-commutatif des structures Hamiltoniennes ; les structures double Poisson de Van den Bergh celui des variétés Poisson. Plus tard, dans le contexte des algèbres différentielles graduées, Brav et Dyckerhoff ont montré que l'analogue non-commutatif des structures symplectiques consistait en des structures dites Calabi-Yau (CY). Dans cet exposé je motiverai cette terminologie, expliquerai une version relative qui donne des structures lagrangiennes, comment on peut s'inspirer de la géométrie symplectique "traditionnelle" pour obtenir de nouveaux exemples, et enfin comment ces structures CY définissent une TFT qui factorise celle des structures lagrangiennes qui participe au formalisme AKSZ. C'est un rapport sur des travaux réalisés avec Damien Calaque et Sarah Scherotzke.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à un important invariant de sous-variétés legendriennes des variétés de contact : l'algèbre de Chekanov-Eliashberg. Nous montrons qu'elle est munie d'une structure de Calabi-Yau dans le cas où la legendrienne est une sphère déplaçable. Pour obtenir ce résultat, nous définissons un complexe de chaînes (complexe de Rabinowitz) associé à une paire de sous-variétés legendriennes. Dans le cas où la paire est une 2-copie d'une sphère legendrienne, nous montrons que l'acyclicité du complexe de Rabinowitz est équivalente à l'existence d'une structure de Calabi-Yau sur l'algèbre de Chekanov-Eliashberg de la sphère legendrienne. Cela induit en particulier un isomorphisme entre l'homologie et la cohomologie de Hochschild de l'algèbre de Chekanov-Eliashberg, qu'on étend au niveau des chaînes en une famille d'applications satisfaisant les relations de foncteur A-infini. Si le temps le permet, nous parlerons du cas des legendriennes qui ne sont pas des sphères.

Le discriminant des polynômes homogènes F de degré d en n+1 variables est un polynôme en les coefficients de F qui s'annule si et seulement si l'hypersurface projective V(F) est singulière. Avec Laurent Busé nous introduisons un discriminant réduit : c'est un polynôme en les coefficients des polynômes F tels que l'hypersurface V(F) possède un point de multiplicité s en un point fixé de l'espace projectif, qui s'annule si et seulement si V(F) possède des singularités supplémentaires.

Je décrirai des propriétés d'homogénéité du discriminant réduit pour différentes graduations sur l'anneau des coefficients des polynômes F, obtenues en adaptant des résultats de Zariski (1937). Ceci permettra d'établir une mystérieuse formule énoncée par Salmon en 1862. J'expliquerai ensuite, suivant Salmon lui-même, comment appliquer cette formule à des questions de géométrie projective énumérative, par exemple au calcul du nombre de plans bitangents à une surface de P^3 passant par un point fixé.