Un problème de la théorie des invariants, auquel on réfère comme 14e problème de Hilbert, demande si les invariants d'une algèbre sous l'action d'un groupe sont de type fini dès que l'algèbre est elle-même de type finie. Sur un corps, on connaît ce résultat pour les groupes algébriques réductifs, comme le groupe linéaire GL_n.
Une conjecture de Wilberd van der Kallen demande si ce résultat de finitude se généralise à toute la cohomologie, dont les invariants sont le degré zéro.
Le cas des groupes finis sur un anneau quelconque fait partie d'un théorème de Leonard Evens (1961). Sur un corps, le résultat général est dû à van der Kallen et Antoine Touzé (2010). Van der Kallen vient de publier le cas des groupes algébriques finis sur un anneau quelconque, traitant un nouveau cas de sa conjecture.
Ce résultat nous donne l'occasion de revenir sur la notion de "réductivité en puissance" qui joue un rôle dans ces développements depuis ma collaboration avec van der Kallen (2010), et sur son application à la théorie classique des invariants.
Le but de l'exposé est d'étudier une généralisation dans les algèbres supérieures de la relation entre une algèbre de Lie et son algèbre enveloppante, et plus précisément du centre et complexe de déformations de cette dernière. La motivation pour cette étude sont les théories des champs topologiques dans le cadre perturbatif.
Pour tout objet x dans une catégorie C il est possible de définir la catégorie des modules de Beck au-dessus de x, comme la catégorie Ab(C/x) des objets en groupe abélien de la catégorie C/x. Nous pouvons en déduire, au moins pour toute catégorie localement présentable, la notion de module cotangent ou de module des différentielles Ω de x dans Ab(C/x). Dans le cas de la catégorie k-Alg des k-algèbres commutatives au-dessus d’un anneau k, la catégorie des modules de Beck Ab(k-Alg/A) au-dessus d’une k-algèbre A est équivalente à la catégorie A-Mod des A-modules et le module des différentielles est égal au module des différentielles de Kähler de A. Le but de cet exposé est de montrer pour toute catégorie localement présentable des résultats qui généralisent les propriétés classiques des modules des différentielles de Kähler.
Many partial differential equations are encoded by proper Fredholm maps between (infinite dimensional) Hilbert spaces.
By the Pontryagin-Thom construction these maps correspond to finite dimensional framed submanifolds. This gives a connection between finite and infinite dimensional topology.
In this talk, I will use this relation to classify proper Fredholm maps (up to proper homotopy) between Hilbert spaces in terms of the stable homotopy groups of spheres. This is based on joint work with Thomas Rot.
La notion d'algèbre de pre-Calabi-Yau a été introduite récemment par M. Kontsevich et Y. Vlassopoulos. Elle est très liée à deux notions plus anciennes : la notion d'algèbre de Calabi-Yau et la notion d'algèbre A-infinie. On s'intéressera dans cet exposé au lien avec cette dernière dont on donnera une description venant de la géométrie noncommutative. Je présenterai également plusieurs résultats récents concernant les algèbres de pre-Calabi-Yau, connus depuis longtemps dans le cas des algèbres A-infinies, tels que l'existence de modèles minimaux et la quasi-inversibilité des quasi-isomorphismes.
Soit M une 4-variété asphérique, c'est à dire que son revêtement universel est contractile. Une conjecture de Singer implique que, pour une telle M, la signature est bornée par la caractéristique d'Euler. Je parlerai de cette inégalité pour les 4-variétés qui admettent une décomposition géométrique à la Hillman, un analogue 4-dimensionnel de la décomposition de Jaco-Shalen-Johnson en dimension 3. Je discuterai ainsi quelques exemples qui sortent de cette exploration. Il s'agit d'un travail en cours avec Luca F. Di Cerbo.
Étant donné un schéma symplectique dérivé (-1)-décalé $X$ avec une donnée d'orientation convenable, Brav-Bussi-Dupont-Joyce-Szendroi (BBDJS) construisent par recollement un faisceau pervers globalement défini sur $X$ dont la caractéristique d'Euler calcule les invariants de Donaldson-Thomas tels que décrits par K. Behrend.
Cette construction est basée sur un théorème de Darboux: localement les schémas (-1)-symplectiques sont des lieux critiques dérivés d'une fonction $f$ sur un schéma lisse $U$.
Dans cet exposé, je présenterai un travail en cours avec B. Hennion et J. Holstein où on propose une stratégie pour recoller sur $X$ un faisceaux de catégories de factorisation matricielles, localement de la forme $MF(U,f)$. En particulier notre résultat permet de récupérer la construction BBDJS.
