Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Ce titre est un peu sibyllin. Il désigne un théorème prouvé par Jean Cerf à la fin des années 60, énonçant que tout difféomorphisme de la sphère de dimension trois se prolonge en difféomorphisme de la 4-boule. Par conséquent, aucune potentielle 4-sphère exotique ne pourra être obtenue par un recollement, aussi "exotique" soit-il, de deux hémisphères.

Le vrai théorème de Cerf (1968) énonce que tout difféomorphisme de la 3-sphère préservant l'orientation est isotope à l'identité. $\Gamma_4=0$ en est une conséquence immédiate.

Dans son article de 1992 à la mémoire de Claude Godbillon et de Jean Martinet, Yakov Eliashberg avait donné une preuve directe de $\Gamma4=0$, sans passer par $\pi0({\rm Diff_+}S^3)=0$. Il utilisait les outils de l'époque des courbes pseudo-holomorphes en géométrie de contact.

Dans cet exposé de séminaire, je voudrais présenter une preuve du théorème de Cerf que j'ai récemment rédigée. Elle se réduit à un théorème d'isotopie de feuilletages de $S^2\times [0,1]$ tangents au bord. De façon assez surprenante, le cadre géométrique est assez facile à traiter. La clé consiste en une suite convenable de chirurgies de Dehn qui "tue" toutes les obstructions sans changer le problème initial d'isotopie.

I'll present new q-deformations of Lie algebras linked to the modular group and the q-rationnal numbers by Morier-Genoud and Ovsienko. In particular we describe deformations of sl2 and the Witt algebra. These deformations are realized as differential operators acting on the hyperbolic plane, giving new insights into q-rationnals.

Soit A le groupe Z^d pour fixer les idées. On s'intéresse aux A-modules M localement compacts, c'est-à-dire que M est un groupe abélien localement compact muni d'une action de A (i.e., de d automorphismes qui commutent entre eux). En particulier, on cherche à "dévisser" M en sous-modules "bien compris". Par exemple, lorsque M est discret et est un A-module de type fini, l'algèbre commutative classique répond à cette question de manière satisfaisante. On décrira un résultat de dévissage général, basé sur la notion de module contractant (i.e., sur lequel au moins un élément de A agit comme une contraction). On décrira des applications à l'étude des groupes métabéliens localement compacts.

A une surface à bord et points marqués munie d’un champ de droites, Haiden, Katzarkov et Kontsevich ont associé une catégorie triangulée appelée la catégorie de Fukaya partiellement enroulée. Ils ont montré que cette catégorie triangulée était équivalente à la catégorie dérivée de certaines algèbres bien connues en théorie des représentations appelées les algèbres aimables. Dans un travail commun avec Pierre-Guy Plamondon, nous étendons cette construction à une surface munie d’une action de Z/2Z et relions cette construction avec les algèbres aimables tordues par le groupe Z/2Z (ou algèbres quasi-aimables).

Un problème de la théorie des invariants, auquel on réfère comme 14e problème de Hilbert, demande si les invariants d'une algèbre sous l'action d'un groupe sont de type fini dès que l'algèbre est elle-même de type finie. Sur un corps, on connaît ce résultat pour les groupes algébriques réductifs, comme le groupe linéaire GL_n. Une conjecture de Wilberd van der Kallen demande si ce résultat de finitude se généralise à toute la cohomologie, dont les invariants sont le degré zéro. Le cas des groupes finis sur un anneau quelconque fait partie d'un théorème de Leonard Evens (1961). Sur un corps, le résultat général est dû à van der Kallen et Antoine Touzé (2010). Van der Kallen vient de publier le cas des groupes algébriques finis sur un anneau quelconque, traitant un nouveau cas de sa conjecture. Ce résultat nous donne l'occasion de revenir sur la notion de "réductivité en puissance" qui joue un rôle dans ces développements depuis ma collaboration avec van der Kallen (2010), et sur son application à la théorie classique des invariants.