Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Cet exposé portera sur une version semi-algébrique du problème de prolongement de Whitney : si une fonction semi-algébrique f:X→ℝ définie sur un fermé X⊂ℝⁿ admet un prolongement F:ℝⁿ→ℝ de classe Cᵐ, alors admet-elle nécessairement un prolongement de classe Cᵐ qui soit aussi semi-algébrique ?

Après quelques rappels sur la géométrie semi-algébrique, je présenterai les résultats positifs connus à ce jour : pour les fonctions de classe C¹ (Aschenbrenner-Thamrongthanyalak), dans le plan (Fefferman-Luli) et pour n et m quelconques mais avec une perte de régularité (travail en collaboration avec E. Bierstone et P. Milman).

L’étude des sous-variétés legendriennes modulo isotopie legendrienne est un thème central en géométrie de contact. Pour construire des invariants homologiques fins pour d’importantes classes de telles sous-variétés, trois approches sont disponibles : les courbes holomorphes, les familles génératrices et les faisceaux. La première approche donne lieu à des structures algébriques plus complexes et qui nécessitent un choix d’augmentation pour en extraire des invariants calculables. Ces trois approches devraient être équivalentes, mais cela n’est établi par calcul combinatoire qu’en petite dimension. En vue d’attaquer cette question en toute dimension, on construit par analyse géométrique un foncteur depuis la catégorie des augmentations vers la catégorie dérivée des faisceaux. Le but de cet exposé est d’expliquer tout cela d’une manière abordable pour les non spécialistes. Il s’agit d’un travail en cours avec Claude Viterbo.

Une hypersurface $S$ (qu'on supposera toujours compacte) d'une variété symplectique $(W,\omega)$ porte un feuilletage naturel appelé feuilletage caractéristique. Une question classique est de savoir si ce feuilletage a au moins une feuille fermée.

Dans $R^{2n}$ par exemple, si $S$ est de type contact, on sait depuis les travaux de C. Viterbo que la conjecture de Weinstein est vraie, c'est à dire qu'il existe toujours au moins une caracéristique fermée sur $S$. Si $S$ n'est pas de type contact, on sait qu'elle peut ne pas avoir de caractéristique fermée, mais un résultat célèbre de Zehnder et Struwe montre qu'il y en a "presque sûrement" dans le sens suivant: une hypersurface $S={ H=c }$ donnée comme niveau d'un Hamiltonien propre $H$ a la propriété d'existence presque sûre de caractéristique fermée si, pour presque tout niveau $c'$ dans un voisinage de $c$, l'hypersurface $S'={ H=c' }$ porte une caractéristique fermée.

La question initiale se décline alors pour l'existence presque sûre:

Q1: Pour une hypersurface donnée $S$ dans $W$, à quelle condition a-t-elle cette propriété d'existence presque sûre?

Q2: A quelle condition sur $W$ est-ce que toutes les hypersurfaces compactes de $W$ ont cette propriété d'existence presque sûre?

Le but de l'exposé est de présenter des réponses à ces deux questions quand $W=T^*Q$ est un cotangent, et d'expliquer comment l'homologie de Floer "à coefficients locaux enrichis" peut-être utilisée pour cela.

https://fabiogironella.com/seminaire_tga/24_07_04_yuan_yao.txt

L'homologie de contact legendrienne, et en particulier, les augmentations de l'algèbre différentielle graduée (ADG) sous-jacente, sont très utiles pour prouver des résultats de rigidité contact. Après avoir présenté quelques définitions, je décrirai comment calculer, avec des relations de Skein, les augmentations pour les surfaces legendriennes d'un espace de 1-jets. L'idée centrale est une ADG particulière qui est locale et combinatoire, "l'ADG simpliciale", et qui est liée aux complexes tordus de Brown.

C'est un travail en cours conjoint avec Dan Rutherford.

A compact invariant set of a flow is called locally maximal when it is the largest invariant set in some neighborhood. In this talk, based on joint work with Erman Cineli, Viktor Ginzburg, and Basak Gürel, I will present a "forced existence" result for the closed orbits of certain Reeb flows on spheres of arbitrary odd dimension:

• If the contact form is non-degenerate and dynamically convex, the presence of a locally maximal closed orbit implies the existence of infinitely many closed orbits.

• If the locally maximal closed orbit is hyperbolic, the assertion of the previous point also holds without the non-degeneracy and with a milder dynamically convexity assumption.

These statements extend to the Reeb setting earlier results of Le Calvez-Yoccoz for surface diffeomorphisms, and of Ginzburg-Gürel for Hamiltonian diffeomorphisms of certain closed symplectic manifolds.