Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Une variété définie sur le corps des nombres réels est dite maximale si l'inégalité de Smith-Thom est une égalité, i.e. la somme des nombres de Betti (à F_2-coefficient) du lieu réel est égale à celle du lieu complexe. Je présenterai plusieurs constructions de variétés réelles maximales en prenant certains espaces de modules des cycles ou des faisceaux sur une variétés de petite dimension. Les exemples comprennent notamment les espaces de modules des fibrés (usuels, paraboliques, ou de Higgs) stables sur une courbe réelle maximale, les schémas de Hilbert des points d'une surface rationnelle maximale etc. L'exposé est basé sur mon travail récent arXiv: 2303.03368.

Le célèbre théorème de non-squeezing de Gromov en topologie symplectique semblerait à première vue ne pas avoir d'analogue possible en topologie de contact : en effet, on peut notamment tasser par des isotopies de contact n'importe quel domaine de l'espace euclidien R^{2n+1} dans un voisinage arbitrairement petit d'un point. Cependant, en 2006 Eliashberg, Kim et Polterovich ont découvert un phénomène de non-squeezing pour la variété de contact R^2n x S^1 : ils ont montré (en utilisant des techniques de théorie symplectique des champs) que pour chaque nombre entier k il n'existe pas d'isotopie de contact qui envoie le produit d'une boule de R^2n de capacité plus grande de k avec S^1 dans le produit d'une boule de capacité plus petite de k avec S^1. D'autre part, ils ont aussi montré qu'en dimension supérieure à 3 on peut toujours tasser le produit d'une boule de capacité inférieure à 1 avec S^1 dans le produit d'une autre boule arbitrairement petite avec S^1, mais avaient laissé ouvert le cas général de boules de capacités supérieures à 1 pas séparées par des entiers ; le non-squeezing dans ce cas a été démontré par Chiu en 2017 en utilisant la théorie microlocale des faisceaux et par Fraser en 2016 avec des techniques en continuité avec celles de Eliashberg, Kim et Polterovich. Dans mon exposé je vais présenter une démonstration de ce résultat général de non-squeezing qui utilise les fonctions génératrices, une technique introduite en topologie symplectique et de contact dans les années 80 et qui est juste basée sur la théorie de Morse classique. Ceci est un travail en commun avec Maia Fraser et Bingyu Zhang.

La persistance à un paramètre est l’un des outils centraux de l’analyse topologique de données. Elle permet de construire des descripteurs de nature combinatoire, appelés codes-barres, encodant certaines propriétés topologiques des nuages de points formés par les données. Ces descripteurs sont généralement obtenus en associant un espace filtré aux données dont en prend la cohomologie singulière. Dans ce contexte on dispose de distances sur ces objets pouvant se calculer de façon effective.

Dans de nombreuses situations, il est naturel de considérer plusieurs filtrations simultanément. Ceci donne lieu à la théorie de la multi-persistance. Dans ce cadre les objets obtenus n'ont plus de descriptions combinatoires simples et peuvent s’identifier à des faisceaux sur un espace vectoriel. Un des enjeux est de parvenir à construire des invariants et des métriques pour ces objets qui soient discriminants et effectivement calculables. Dans cet exposé nous verrons comment ces questions peuvent s'aborder via la théorie des faisceaux.

Le premier objectif de cet exposé sera d'introduire le monde dendroidal, qui généralise le monde simplicial. Au lieu de travailler avec la catégorie Delta, nous travaillerons avec la catégorie Omega, une catégorie d'arbres introduite par Moerdijk et Weiss. Les préfaisceaux sur Delta sont appelés ensembles dendroidaux et généralise les ensembles simpliciaux. J'expliquerai ensuite comment les opérades et les infini-opérades apparaissent dans ce contexte. Dans une seconde partie, j'introduirai une notion d'homologie pour les infini-opérades, via une construction bar. Ceci est un travail en commun avec Ieke Moerdijk

La série de Poincaré des champs de modules de fibrés semistables sur une courbe a été calculée par Laumon et Rapoport. Dans ce travail en commun avec Melissa Liu, nous montrons que la série de Hodge-Poincaré de ces champs peut être calculée d'une façon similaire. En guise d'application, nous obtenons une nouvelle démonstration d'un résultat obtenu en collaboration avec Erwan Brugallé, sur la maximalité des variétés de modules de fibrés vectoriels semistables sur une courbe réelle.

La géométrie localement conformément symplectique apparaît comme une généralisation naturelle de la géométrie symplectique standard. Localement similaire à la géométrie symplectique, le comportement global des objets issus de la géométrie LCS est toutefois différent. Dans cet exposé, nous verrons que sous une condition de type capacité sur une sous-variété lagrangienne $L$ de $T^M$, la restriction de la projection $T^M\rightarrow M$ à $L$ est une équivalence d'homotopie.

Les invariants complexes obtenus par l’énumération des courbes de genre g fixé dans une classe donnée passant par g points génériques dans une surface abélienne donnée diffèrent grandement des invariants correspondants dans le plan complexe. Bien que les valeurs pour les classes dites « primitives » soient connues depuis un certain temps, le calcul des valeurs pour les autres classes peut s’avérer particulièrement retors. L’approche tropicale permet de montrer une formule surprenamment courte donnant les valeurs et permettant d’occulter toute énumération concrète (et potentiellement longue et fastidieuse).

We discuss the relation between hypersurface singularities (e.g. ADE, $\widetilde{E}{6},\widetilde{E}{7},\widetilde{E}_{8}$, etc) and spectral invariants, which are symplectic invariants coming from Floer theory.

We consider a tropical analogue to the following question: given a smooth complex algebraic curve X of even genus 2g', how many isomorphism classes of non-constant rational maps f : X → ℂℙ¹ with deg f = g' + 1 are there? In this talk we introduce the relevant tropical objects and sketch a proof that, with the appropriate multiplicity, the tropical count coincides with the classical count. The main idea is to organize both the tropical maps and the tropical curves into moduli spaces, and prove that the space of maps covers the space of curves. The desired number is then the degree of this branched covering. By looking at a particular fiber in the covering, a fiber related to chains of loops, this count is calculated to be a number that appears frequently in combinatorics.

Dans cet exposé, nous étudions la topologie réelle des dégénérescences semi-stables totalement réelles. Le résultat principal est une borne pour les nombres de Betti individuels d'une fibre réelle lisse en termes de la géométrie complexe de la fibre dégénérée. L'ingrédient principal est l'utilisation de la géométrie logarithmique réelle, qui permet d'étudier dégénérescences qui ne sont pas nécessairement toriques, et donc de dépasser le cas de dégénérescences tropicales lisses, étudié par Renaudineau-Shaw. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Matilde Manzaroli.