Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

A une surface à bord et points marqués munie d’un champ de droites, Haiden, Katzarkov et Kontsevich ont associé une catégorie triangulée appelée la catégorie de Fukaya partiellement enroulée. Ils ont montré que cette catégorie triangulée était équivalente à la catégorie dérivée de certaines algèbres bien connues en théorie des représentations appelées les algèbres aimables. Dans un travail commun avec Pierre-Guy Plamondon, nous étendons cette construction à une surface munie d’une action de Z/2Z et relions cette construction avec les algèbres aimables tordues par le groupe Z/2Z (ou algèbres quasi-aimables).

Un problème de la théorie des invariants, auquel on réfère comme 14e problème de Hilbert, demande si les invariants d'une algèbre sous l'action d'un groupe sont de type fini dès que l'algèbre est elle-même de type finie. Sur un corps, on connaît ce résultat pour les groupes algébriques réductifs, comme le groupe linéaire GL_n. Une conjecture de Wilberd van der Kallen demande si ce résultat de finitude se généralise à toute la cohomologie, dont les invariants sont le degré zéro. Le cas des groupes finis sur un anneau quelconque fait partie d'un théorème de Leonard Evens (1961). Sur un corps, le résultat général est dû à van der Kallen et Antoine Touzé (2010). Van der Kallen vient de publier le cas des groupes algébriques finis sur un anneau quelconque, traitant un nouveau cas de sa conjecture. Ce résultat nous donne l'occasion de revenir sur la notion de "réductivité en puissance" qui joue un rôle dans ces développements depuis ma collaboration avec van der Kallen (2010), et sur son application à la théorie classique des invariants.

Le but de l'exposé est d'étudier une généralisation dans les algèbres supérieures de la relation entre une algèbre de Lie et son algèbre enveloppante, et plus précisément du centre et complexe de déformations de cette dernière. La motivation pour cette étude sont les théories des champs topologiques dans le cadre perturbatif.

Pour tout objet x dans une catégorie C il est possible de définir la catégorie des modules de Beck au-dessus de x, comme la catégorie Ab(C/x) des objets en groupe abélien de la catégorie C/x. Nous pouvons en déduire, au moins pour toute catégorie localement présentable, la notion de module cotangent ou de module des différentielles Ω de x dans Ab(C/x). Dans le cas de la catégorie k-Alg des k-algèbres commutatives au-dessus d’un anneau k, la catégorie des modules de Beck Ab(k-Alg/A) au-dessus d’une k-algèbre A est équivalente à la catégorie A-Mod des A-modules et le module des différentielles est égal au module des différentielles de Kähler de A. Le but de cet exposé est de montrer pour toute catégorie localement présentable des résultats qui généralisent les propriétés classiques des modules des différentielles de Kähler.

La notion d'algèbre de pre-Calabi-Yau a été introduite récemment par M. Kontsevich et Y. Vlassopoulos. Elle est très liée à deux notions plus anciennes : la notion d'algèbre de Calabi-Yau et la notion d'algèbre A-infinie. On s'intéressera dans cet exposé au lien avec cette dernière dont on donnera une description venant de la géométrie noncommutative. Je présenterai également plusieurs résultats récents concernant les algèbres de pre-Calabi-Yau, connus depuis longtemps dans le cas des algèbres A-infinies, tels que l'existence de modèles minimaux et la quasi-inversibilité des quasi-isomorphismes.