Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Le but de l'exposé est d'étudier une généralisation dans les algèbres supérieures de la relation entre une algèbre de Lie et son algèbre enveloppante, et plus précisément du centre et complexe de déformations de cette dernière. La motivation pour cette étude sont les théories des champs topologiques dans le cadre perturbatif.

Pour tout objet x dans une catégorie C il est possible de définir la catégorie des modules de Beck au-dessus de x, comme la catégorie Ab(C/x) des objets en groupe abélien de la catégorie C/x. Nous pouvons en déduire, au moins pour toute catégorie localement présentable, la notion de module cotangent ou de module des différentielles Ω de x dans Ab(C/x). Dans le cas de la catégorie k-Alg des k-algèbres commutatives au-dessus d’un anneau k, la catégorie des modules de Beck Ab(k-Alg/A) au-dessus d’une k-algèbre A est équivalente à la catégorie A-Mod des A-modules et le module des différentielles est égal au module des différentielles de Kähler de A. Le but de cet exposé est de montrer pour toute catégorie localement présentable des résultats qui généralisent les propriétés classiques des modules des différentielles de Kähler.

La notion d'algèbre de pre-Calabi-Yau a été introduite récemment par M. Kontsevich et Y. Vlassopoulos. Elle est très liée à deux notions plus anciennes : la notion d'algèbre de Calabi-Yau et la notion d'algèbre A-infinie. On s'intéressera dans cet exposé au lien avec cette dernière dont on donnera une description venant de la géométrie noncommutative. Je présenterai également plusieurs résultats récents concernant les algèbres de pre-Calabi-Yau, connus depuis longtemps dans le cas des algèbres A-infinies, tels que l'existence de modèles minimaux et la quasi-inversibilité des quasi-isomorphismes.

Soit M une 4-variété asphérique, c'est à dire que son revêtement universel est contractile. Une conjecture de Singer implique que, pour une telle M, la signature est bornée par la caractéristique d'Euler. Je parlerai de cette inégalité pour les 4-variétés qui admettent une décomposition géométrique à la Hillman, un analogue 4-dimensionnel de la décomposition de Jaco-Shalen-Johnson en dimension 3. Je discuterai ainsi quelques exemples qui sortent de cette exploration. Il s'agit d'un travail en cours avec Luca F. Di Cerbo.

Étant donné un schéma symplectique dérivé (-1)-décalé $X$ avec une donnée d'orientation convenable, Brav-Bussi-Dupont-Joyce-Szendroi (BBDJS) construisent par recollement un faisceau pervers globalement défini sur $X$ dont la caractéristique d'Euler calcule les invariants de Donaldson-Thomas tels que décrits par K. Behrend. Cette construction est basée sur un théorème de Darboux: localement les schémas (-1)-symplectiques sont des lieux critiques dérivés d'une fonction $f$ sur un schéma lisse $U$. Dans cet exposé, je présenterai un travail en cours avec B. Hennion et J. Holstein où on propose une stratégie pour recoller sur $X$ un faisceaux de catégories de factorisation matricielles, localement de la forme $MF(U,f)$. En particulier notre résultat permet de récupérer la construction BBDJS.

Une variété définie sur le corps des nombres réels est dite maximale si l'inégalité de Smith-Thom est une égalité, i.e. la somme des nombres de Betti (à F_2-coefficient) du lieu réel est égale à celle du lieu complexe. Je présenterai plusieurs constructions de variétés réelles maximales en prenant certains espaces de modules des cycles ou des faisceaux sur une variétés de petite dimension. Les exemples comprennent notamment les espaces de modules des fibrés (usuels, paraboliques, ou de Higgs) stables sur une courbe réelle maximale, les schémas de Hilbert des points d'une surface rationnelle maximale etc. L'exposé est basé sur mon travail récent arXiv: 2303.03368.

Le célèbre théorème de non-squeezing de Gromov en topologie symplectique semblerait à première vue ne pas avoir d'analogue possible en topologie de contact : en effet, on peut notamment tasser par des isotopies de contact n'importe quel domaine de l'espace euclidien R^{2n+1} dans un voisinage arbitrairement petit d'un point. Cependant, en 2006 Eliashberg, Kim et Polterovich ont découvert un phénomène de non-squeezing pour la variété de contact R^2n x S^1 : ils ont montré (en utilisant des techniques de théorie symplectique des champs) que pour chaque nombre entier k il n'existe pas d'isotopie de contact qui envoie le produit d'une boule de R^2n de capacité plus grande de k avec S^1 dans le produit d'une boule de capacité plus petite de k avec S^1. D'autre part, ils ont aussi montré qu'en dimension supérieure à 3 on peut toujours tasser le produit d'une boule de capacité inférieure à 1 avec S^1 dans le produit d'une autre boule arbitrairement petite avec S^1, mais avaient laissé ouvert le cas général de boules de capacités supérieures à 1 pas séparées par des entiers ; le non-squeezing dans ce cas a été démontré par Chiu en 2017 en utilisant la théorie microlocale des faisceaux et par Fraser en 2016 avec des techniques en continuité avec celles de Eliashberg, Kim et Polterovich. Dans mon exposé je vais présenter une démonstration de ce résultat général de non-squeezing qui utilise les fonctions génératrices, une technique introduite en topologie symplectique et de contact dans les années 80 et qui est juste basée sur la théorie de Morse classique. Ceci est un travail en commun avec Maia Fraser et Bingyu Zhang.

La persistance à un paramètre est l’un des outils centraux de l’analyse topologique de données. Elle permet de construire des descripteurs de nature combinatoire, appelés codes-barres, encodant certaines propriétés topologiques des nuages de points formés par les données. Ces descripteurs sont généralement obtenus en associant un espace filtré aux données dont en prend la cohomologie singulière. Dans ce contexte on dispose de distances sur ces objets pouvant se calculer de façon effective.

Dans de nombreuses situations, il est naturel de considérer plusieurs filtrations simultanément. Ceci donne lieu à la théorie de la multi-persistance. Dans ce cadre les objets obtenus n'ont plus de descriptions combinatoires simples et peuvent s’identifier à des faisceaux sur un espace vectoriel. Un des enjeux est de parvenir à construire des invariants et des métriques pour ces objets qui soient discriminants et effectivement calculables. Dans cet exposé nous verrons comment ces questions peuvent s'aborder via la théorie des faisceaux.