Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à un important invariant de sous-variétés legendriennes des variétés de contact : l'algèbre de Chekanov-Eliashberg. Nous montrons qu'elle est munie d'une structure de Calabi-Yau dans le cas où la legendrienne est une sphère déplaçable. Pour obtenir ce résultat, nous définissons un complexe de chaînes (complexe de Rabinowitz) associé à une paire de sous-variétés legendriennes. Dans le cas où la paire est une 2-copie d'une sphère legendrienne, nous montrons que l'acyclicité du complexe de Rabinowitz est équivalente à l'existence d'une structure de Calabi-Yau sur l'algèbre de Chekanov-Eliashberg de la sphère legendrienne. Cela induit en particulier un isomorphisme entre l'homologie et la cohomologie de Hochschild de l'algèbre de Chekanov-Eliashberg, qu'on étend au niveau des chaînes en une famille d'applications satisfaisant les relations de foncteur A-infini. Si le temps le permet, nous parlerons du cas des legendriennes qui ne sont pas des sphères.

Le discriminant des polynômes homogènes F de degré d en n+1 variables est un polynôme en les coefficients de F qui s'annule si et seulement si l'hypersurface projective V(F) est singulière. Avec Laurent Busé nous introduisons un discriminant réduit : c'est un polynôme en les coefficients des polynômes F tels que l'hypersurface V(F) possède un point de multiplicité s en un point fixé de l'espace projectif, qui s'annule si et seulement si V(F) possède des singularités supplémentaires.

Je décrirai des propriétés d'homogénéité du discriminant réduit pour différentes graduations sur l'anneau des coefficients des polynômes F, obtenues en adaptant des résultats de Zariski (1937). Ceci permettra d'établir une mystérieuse formule énoncée par Salmon en 1862. J'expliquerai ensuite, suivant Salmon lui-même, comment appliquer cette formule à des questions de géométrie projective énumérative, par exemple au calcul du nombre de plans bitangents à une surface de P^3 passant par un point fixé.

Soient A un anneau et K un corps, commutatifs. On nomme, d'après Kuhn et en raison d'analogies avec la théorie classique des représentations K-linéaires des groupes, représentation générique sur K des groupes linéaires sur A tout foncteur des A-modules libres de rang fini vers les K-espaces vectoriels, ici supposés de dimension finie. De tels foncteurs, ainsi que des analogues (comme les FI-modules, dont la structure est plus facile à étudier) apparaissent naturellement dans plusieurs problèmes d'algèbre, de topologie ou de K-théorie. Nous présenterons des résultats de structure pour les représentations génériques ayant assez de propriétés de finitude (notamment celles qui possèdent une suite de composition finie) qui impliquent que leur série de Poincaré (dont les coefficients sont les dimensions prises par le foncteur considéré) est très contrainte - c'est une fonction rationnelle.

Cet exposé repose sur plusieurs travaux récents avec Touzé, Vespa et Gaujal.

Given a lagrangian link with k components in the disc, it is possible to define an associated Hofer norm on the braid group with k strands. In this talk we are going to detail this definition, and explain how it is possible to prove non degeneracy if k=2 and certain area conditions on the lagrangian link are met. The proof is based on the construction, using Quantitative Heegaard-Floer Homology, of a family of quasimorphisms which detect linking numbers of braids. Time permitting, we are also going to see how to extend the results to any compact surface with boundary. This talk is based on work of mine, and an ongoing project with Ibrahim Trifa (for the higher genus case).

We'll define stabilization for codim=2 contact manifolds of dim>3 contact manifolds so that the following holds: A contact manifold is overtwisted iff its "standard contact unknot" is a stabilization. This means that many dim=2n+1>3 contact manifolds contain dim=2n-1 spheres which are unknotted smoothly but "knotted" from a contact-topological point of view.

In a recent joint work with Joan Bellier-Millès, we set up a homotopy theory of curved algebras over curved operads in which one can implement (with the appropriate modifications) usual constructions such as the bar-cobar adjunction and André-Quillen cohomology. The occurrence of curved structures in various research topics (symplectic topology, deformation theory, derived geometry, mathematical physics...) motivate the development of their homotopy theory, cohomology theory and deformation theory. Two important examples fitting in our framework are the homotopy unital curved A-infinity algebras encoding for instance the algebraic structure of Fukaya categories (as in the work of Fukaya-Oh-Ota-Ono) in symplectic topology, and formal integrable almost complex structures in complex geometry. The motivation behind the second example is to get an analogue of the Newlander-Nirenberg integrability theorem in derived complex analytic geometry. At the formal neighbourhood of a point, an integrable almost complex manifold can be described as an algebra over a certain curved operad. Our idea is to consider homotopy curved algebras over this curved operad and to glue these local data up to homotopy. Our results generalize to homotopy sheaves of curved algebras over a curved operad, so in particular they provide a framework to perform such a construction. During this talk, I will explain the various key notions and ideas of our work. If time permits, I will say a few words about the comparison between our model of derived complex analytic spaces and those developped by Lurie, Porta and Pridham.