Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Dans cet exposé, je présenterai quelques variantes de la normalisation de variétés affines réelles : la seminormalisation, la R-seminormalisation et la normalisation birégulière. Comme pour la normalisation, elles peuvent être obtenues par un procédé algébrique, elles possèdent des singularités bien particulières en codimension 1 et elles vérifient une propriété universelle. Cependant, ces variantes sont plus proches de la variété de départ que ne l'est la normalisation. Après avoir identifié leurs anneaux de coordonnées comme des anneaux de fonctions rationnelles possédant une certaine régularité, nous les comparerons entre elles et présenterons la façon dont elles modifient les singularités réelles et complexes de la variété.

On étudie le complété pour la métrique spectrale de l'espace des Lagrangiens d'une variété symplectique. On montre en particulier que les éléments de ce complété ont un support, et -- dans un travail commun avec M.-C. Arnaud et V. Humilière -- que dans le cas d'une dynamique dissipative ils fournissent un ensemble invariant qui généralise en dimension quelconque l'ensemble de Birkhoff pour les difféomorphismes dissipatifs de l'anneau.

Dans cet exposé, j'expliquerai brièvement comment construire des proxys de la fonction distance à un compact, à partir d'un nuage de points générés sur ce compact, avec du bruit. Ces proxys seront construits à partir d'un critère de type k-means. Leurs sous-niveaux seront des unions de boules ou d'ellipsoïdes.

J'introduirai également la notion géométrique de dimension de Vapnik-Chervonenkis, présenterai son calcul dans le cas particulier de certaines familles d'ellipsoïdes, et son application statistique pour les proxys.

Il s'agit de travaux en cours et de travaux publiés dans : - Claire Brécheteau and Clément Levrard, A k-points-based distance for robust geometric inference. Bernoulli 2020, Vol. 26, No. 4, 3017-3050 - Claire Brécheteau, Robust anisotropic power-functions-based filtrations for clustering. Symposium on Computational Geometry 2020, 23:1-23:15

Concernant la dimension de Vapnik-Chervonenkis, on pourra se référer aux travaux : - Yohji Akama, Kei Irie, Akitoshi Kawamura, Yasutaka Uwano, VC Dimensions of Principal Component Analysis, Discrete Comput Geom (2010) 44: 589–598

Nous considérons comme ingrédients une grassmannienne complexe G(d,n) et une classe L dans son groupe d'homologie. Nous nous intéressons au problème de trouver des sous-variétés algébriques (sous-schémas fermés intégraux) de G(d,n) de classe d'homologie L, mais qui sont aussi invariantes sous l'action du tore maximal T de G(d,n).

Nous verrons que ce problème est gouverné par des objets discrets appelés matroïdes, et nous le résoudrons complètement pour le cas des T-orbites.

Puis nous étudierons le même problème pour la Grassmannienne symplectique de droites SpG(2,2n), qui est gouvernée par des objets discrets appelés matroïdes symplectiques de rang 2.

Ces résultats font partie d'un travail conjoint avec Pedro Luis del Ángel, Javier Elizondo, Alex Fink et Felipe Zaldivar.

Dans cet exposé, je vais vous raconter comment à des polytopes suffisamment sympathiques et à d'autres objets combinatoires on a associé des variétés complexes qui leur ressemblent, comment cela a permis d'élucider des propriétés remarquables de ces objets via la théorie de Hodge classique (qui étudie la structure cohomologique des variétés complexes), comment, lorsque ces objets ne sont plus si sympathiques, il a fallu développer la théorie de Hodge combinatoire en faisant comme si une variété complexe adéquate était associée à ces objets, et comment, en réalité, on peut bien leur associer une variété adéquate mais une variété tropicale. Ce sera l'occasion de (re)découvrir polytopes, variétés toriques, matroïdes, éventails, théories de Hodge, hypercorps tropical, etc.

In this talk I will explain a work in progress, joint with Baldur Sigurdsson, in which we explore an idea by A'Campo. An explicit collapsing map is constructed for each isolated hypersurface singularity using a natural connection depending on the ambient metric. The preimage of the singular point by the collapsing map yields, on each Milnor fiber, a piecewise linear spine. The combinatorics and the properties of this spine are analyzed by means of a vector field which is defined on the boundary of the real oriented blow-up of a resolution of the singularity that also resolves the polar curves. At the moment, we deal with the case of isolated plane curve singularities.

La première partie de cet exposé sera consacrée à une introduction aux catégories de Fukaya et à la symétrie miroir homologique, en considérant le cas des surfaces. Après des exemples élémentaires (cylindre et pantalon), on considérera les décompositions le long de cylindres (thèse de Heather Lee) pour arriver à un résultat de symétrie miroir général. On esquissera enfin une description des catégories de Fukaya de surfaces singulières que l'on peut considérer comme les miroirs de surfaces de Riemann (travail en collaboration avec Efimov et Katzarkov).

Introduite par Toën en 2013, l'action de membranes associe à toute ∞-opérade cohérente O une structure de O-algèbre sur l’espace des extensions de l’identité. Pour certaines ∞-opérades d'origine géométrique, cette construction abstraite reproduit des structures algébriques importantes. Par exemple, appliquée à l'opérade des petits disques de dimension n, l'action de membranes reproduit une partie des opérations algébriques sur les espaces de morphismes depuis la sphère de dimension n-1, tel qu'étudié en topologie des cordes. Des travaux de Mann–Robalo ont également montré comment l'exemple de l'opérade des courbes stables encode les invariants de Gromov–Witten, via cette même construction. Mon exposé sera une introduction à ces idées, jusqu'à mes résultats de thèse qui permettent d'étendre l'action de membranes à de nouveaux exemples géométriques.

Dans cet exposé, après avoir défini le champ de Teichmüller d'une variété compacte complexe, je m'interrogerai sur les pathologies qu'il peut exhiber et qui en font un objet parfois très éloigné d'un espace analytique. Grâce à la dualité de points de vue que permet le formalisme des champs, ces pathologies sont également des pathologies des familles de variétés complexes. Il s'agit d'un travail en cours.

Partitioned braid groups (sometimes called "mixed braid groups") are subgroups of the braid group standing between the pure braid group Pn and the whole braid group Bn. On the one hand, the lower central series of Bn is almost trivial. On the other hand, the lower central series of Pn is a very rich object, encoding finite type invariants of braids. As a consequence, one can expect partitioned braid groups to display a range of intermediate behaviors, and this is indeed what we observe. In this talk, we will explore these different behaviours and give an answer to the first question one can ask about these lower central series: when do they stop? Even this simple question turns out to be a difficult one, especially when one considers its generalization to braids on surfaces. However, we will be able to answer it almost completely, leaving open only some cases of partitioned braids on the projective plane.