Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Je définirai une notion de pavages de complexes simpliciaux, en montrerai l'existence après subdivisions stellaires et discuterai leurs liens avec la théorie de Morse discrète et la notion de h-vecteur. Des suites spectrales associées convergent vers l'homologie et la cohomologie du complexe.

In this talk I will define Gaussian random fields on manifolds and study their topological and geometric properties.

The first main result is a probabilistic version of Thom transversality theorem - a necessary lubricant for the generic argument in Differential Topology (it is a more general version of Sard's theorem) - that allows to change the word "generic" to "almost every" in almost every situations.

Secondly, I will address the problem of describing the asymptotic behaviour of a sequence of Gaussian Random Fields. The prototypical example is a sequences of random (Kostlan) polynomials having {degree $\to\infty$}.

I will present a general method to deal with the limit probability of differential geometric events (for instance: the probability of having a critical point inside a certain domain; the probability that a level set is diffeomorphic to some fixed closed manifold; etc.) and apply it to the case of Kostlan polynomials to obtain a generalization of the results by Gayet and Welschinger. Time permitting, I will discuss how to study the expected topology (Betti numbers) of singular sets.

Zonoids are a particular class of convex bodies. After presenting the definition, I will show some recent development on the structure of the spaces of zonoids (joint work with P. Burgisser P. Brieding & A. Lerario). I will explain what I like to call the Fundamental Theorem of Zonoid Calculus that allows to build multilinear operations on zonoids and in particular, build the "zonoid algebra". If time permits, I will show how this applies to stochastic geometry (joint work with M. Stecconi).

This talk is based on joint work with Kris Shaw and Arthur Renaudineau. I will present a combinatorial setup, based on smooth tropical varieties and real phase structures, which after "unfolding" produces a certain class of PL-manifolds. We have two motivations in mind: Firstly, in generalisation of Viro's combinatorial patchwoking to arbitrary codimension, the arising PL-geometries can be used to describe the topology of real algebraic varieties close to the tropical limit. Secondly, even if not "realisable" by real algebraic varieties, real phase structures provide a geometric framework for combinatorial structures such as oriented matroids.

En 2011, Sandon montra que les points translatés des contactomorphismes isotopes à l’identité des espaces projectifs réels munis de la forme de contact standard existaient toujours en un nombre supérieur à une quantité liée à la topologie de ces espaces. Elle en conjectura un analogue de la conjecture d’Arnol’d pour les contactomorphismes isotopes à l’identité de variétés de contact quelconques. Dans cet exposé, nous expliquerons cette conjecture et comment l'utilisation de fonctions génératrice permet de la démontrer dans les espaces lenticulaires standard.

Nous discuterons comment des méthodes adéliques permettent de comprendre la répartition des polynômes post-critiquement finis dans l'espace des paramètres des polynômes complexes de degré fixé.

J’expliquerai comment des résultats récents de Brown et Rodriguez-Hertz peuvent être couplés à des techniques de dynamique holomorphe pour étudier un problème issu de la géométrie élémentaire : le pliage aléatoire de pentagones. Cet exposé sera basé sur mes travaux communs avec Romain Dujardin.

La théorie de Floer explique comment l'homologie d'une variété influe sur sa géométrie symplectique, notamment en forçant l'existence de points fixes pour les isotopies Hamiltoniennes. Pour les isotopies symplectiques, H.V. Le et K. Ono (ainsi que M. Damian et A. Gadbled dans le cas Lagrangien) ont généralisé cette construction pour obtenir des résultats similaires dans lesquels l'homologie usuelle est remplacée par l'homologie de Novikov associée au flux de l'isotopie.

J'expliquerai comment étendre cette situation au groupe fondamental: je rappellerai comment la théorie de Morse permet de reconstruire le groupe fondamental à partir de la dynamique du gradient d'une fonction, puis l'analogue en théorie de Morse-Novikov pour la dynamique d'une 1-forme fermée, et enfin comment la théorie de Floer permet de reconstruire (des générateurs du) groupe fondamental "de Novikov" à partir de la dynamique d'une isotopie symplectique, du moins quand son flux n'est pas trop grand.

L'évolution d'un fluide idéal en équilibre est décrite par l'équation d'Euler stationnaire. Parmi ses solutions, les champs de vecteurs Beltrami sont les seuls où des phénomènes dynamiquement intéressants peuvent apparaître. Dans un travail en collaboration avec Pierre Berger et Daniel Peralta-Salas, nous montrons que des tangences homoclines et des phénomènes de type Newhouse apparaissent parmi les champs de vecteurs Beltrami. De plus, grâce à la théorie de Gonchenko-Shilnikov-Turaev, nous prouvons l'existence de champs de vecteurs Beltrami universels, i.e. qui contiennent une approximation de n'importe quelle dynamique.

Il est intéressant de comparer la caractéristique d'Euler de la partie réelle d'une variété algébrique réelle avec la signature de la variété complexe sous-jacente. Par exemple un théorème d'Itenberg et Bertrand stipule que ces deux quantités sont égales pour les "T-hypersurfaces primitives". Après avoir défini ces dernières, je donnerai une preuve motivique de ce théorème via la fibre proche motivique d'une dégénérescence semi-stable. Cette preuve étend en particulier le théorème originel d'Itenberg et Bertrand aux variétés tropicales non-singulières.