Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Soit \Gamma un groupe discret agissant par isométries sur un espace Gromov-hyperbolique. Une grande famille d'exemples naturels sont les groupes fondamentaux des variétés à courbure négative. L'objectif de cet exposé serait de présenter un critère géométrique simple qui, pour tout sous-groupe \Gamma' < \Gamma, permet savoir si le quotient \Gamma/\Gamma' est moyennable ou non. Après avoir présenté le cadre général de ce problème, nous verrons qu'une réponse peut être donnée grâce aux notions d'entropie et d'entropie à l'infini.

Travail en commun avec Rémi Coulon, Rhiannon Dougall et Barbara Schapira.

A morphism of smooth varieties of the same dimension is called real fibered if the inverse image of the real part of the target is the real part of the source. It goes back to Ahlfors that a real algebraic curve admits a real fibered morphism to the projective line if and only if the real part of the curve disconnects its complex part. Inspired by this result, in a joint work with Mario Kummer and Cédric Le Texier, we are interested in characterising real algebraic varieties of dimension n admitting real fibered morphisms to the n-dimensional projective space. We present a criterion to construct real fibered morphisms that arise as finite surjective linear projections from an embedded variety; this criterion relies on topological linking numbers. We address special attention to real algebraic surfaces. We classify all real fibered morphisms from real del Pezzo surfaces to the projective plane and determine when such morphisms arise as the composition of a projective embedding with a linear projection.

To describe the behavior of the iterates of a holomorphic germ f on a complex surface X fixing a (possibly singular) point x0, we are led to study the lifts fπ to birational models Xπ over (X,x0). In general fπ has indeterminacy points: when the fπ-orbits eventually avoid these indeterminacy points, we say that X_π is algebraically stable. In a joint work with William Gignac, we show the existence of algebraically stable models in this setting (but for one class of exceptions, where no such models exist). The proof relies on fixed point theorems for the dynamics induced on suitable valuation spaces, following Favre and Jonsson.

Les singularités en épissure sont la classe la plus vaste que l'on connaisse de singularités intersections complètes de surfaces complexes dont le bord est une sphère d'homologie entière. Neumann et Wahl conjecturèrent que leurs fibres de Milnor peuvent se construire à partir de fibres de Milnor de singularités plus simples du même type. Je présenterai le contexte dans lequel ils formulèrent cette conjecture et j'expliquerai les étapes de la preuve obtenue en collaboration avec Maria Angelica Cueto et Dmitry Stepanov.

Les nombres de Markov sont des entiers positifs qui apparaissent dans les solutions d'une équation diophantienne, la cubique de Markov x2 + y2 + z2−3xyz = 0. Sujet classique de la théorie des nombres, ces nombres sont liés à de nombreux domaines des mathématiques tels que la combinatoire, la géométrie hyperbolique, la théorie de l'approximation et les algèbres amassées.

Dans les années 50, H. Cohn a découvert une relation entre les nombres de Markov et les longueurs de géodésiques simples fermées sur le tore percé. Dans les années 90, avec Igor Rivin, nous avons introduit une méthode qui permet d'estimer le nombre de nombres de Markov inférieurs à $ L> 0 $. L'ingrédient clé en était l'utilisation d'une norme sur la première homologie du tore.

Dans cet exposé nous allons : - expliquer la géométrie de la norme et comment elle peut être utilisée pour prouver de nouvelles identités pour des longueurs de géodésiques fermées simples - utiliser la convexité pour donner une nouvelle preuve unifiée de certaines conjectures que Martin Aigner a formulées dans son livre, le théorème de Markov et 100 ans de la conjecture d'unicité.

Given a partial differential equation (PDE), its solutions can be difficult, if not impossible, to compute. The purpose of the Fundamental theorem of differential tropical (partial) algebraic geometry is to extract from the equations certain properties of the solutions. More precisely, this theorem proves that the support of the solutions (in $k[[t1, \cdots, tm]]$ with $k$ a field of characteristic zero) of a system of algebraic PDE can be obtained by solving a so-called tropicalized differential system.

Moduli spaces of stable maps in genus bigger than zero include many components of different dimensions meeting each other in complicated ways, and the closure of the smooth locus is difficult to describe. We will look at examples of genus one and two maps of low degree in the projective plane to get a feeling of how complicated these spaces can be.

Afterwords, we will sketch the construction of a modular desingularization of the space of genus 2 maps to projective spaces using combinatorial techniques from tropical geometry and maps from certain exotic curve singularities.

Given a closed 4-manifold X with an indefinite intersection form, we consider smoothly embedded surfaces in X-int(B^4), with boundary a given knot K in the 3-sphere. We give several methods to bound the genus of such surfaces in a fixed homology class. Our techniques include adjunction inequalities from Heegaard Floer homology and the Bauer-Furuta invariants, and the 10/8 theorem. In particular, we present obstructions to a knot being H-slice (that is, bounding a null-homologous disc) in a 4-manifold and show that the set of H-slice knots can detect exotic smooth structures on closed 4-manifolds. This is joint work with Ciprian Manolescu and Lisa Piccirillo.