Classical knot theory is the study of smooth 1-manifolds in R^3. Starting from a beautiful construction by Rudolph that relates notions of positivity for knots with the study of algebraic curves in C^2, we discuss applications of knot theory to complex curve questions and vice versa.
L'homologie de Novikov est une version de l'homologie de Morse adaptée à l'étude des formes fermées non exactes. Bien moins célèbre que la théorie de Morse, elle n'en joue pas moins un rôle clef dans de nombreuses situations, en particulier en topologie symplectique, où elle intervient de façon fondamentale en théorie de Floer.
Mais de même que la théorie de Morse ne se résume pas à une théorie homologique et donne accès à bien plus d'information sur la variété considérée, la théorie de Novikov devrait elle aussi aller au-delà de la définition d'une homologie. Le but de l'exposé est de présenter la construction d'un analogue du groupe fondamental en théorie de Novikov. Ce "groupe fondamental de Novikov" fournit en particulier de nouvelles contraintes sur les points critiques des 1 formes dans une classe de cohomologie donnée, dont on illustrera sur des exemples qu'elles sont de nature homotopique plutôt qu'homologique. C'est un travail en commun avec A. Gadbled, R. Golovko, et H.V. Le.
Given a closed symplectic manifold X, and a differentiable manifold L, can we embed L into X as a Lagrangian submanifold? This central question in Symplectic Geometry is far from being resolved. According to the Symplectic Field Theory approach (as proposed by Eliashberg, Givental and Hofer about 20 years ago) if L is embeddable to X then enumerative invariants of TL-L and X must be compatible. If L is a real torus then TL coincides with (C*)^n and its enumerative geometry is described by the tropical geometry in R^n. In this talk we'll look at some other examples of L when tropical geometry comes into play, including the famous "conifold transition" case of L=S^3 and its finite quotients. We'll also consider some cases when L is disconnected or singular.
Le nombre de racines réelles d'un polynôme de degré d à coefficients réels
dépend du choix du polynôme. Plus généralement, étant donné un fibré en
droites L au dessus d'une courbe définie sur les réels, le nombre de
zéros réels d'une section de L dépend du choix de la section. Dans
l'exposé, on s'intéressera aux sections réelles d'un fibré en droites au
dessus d'une courbe et on comptera les zéros réels d'une section choisie
au hasard.
Une célèbre conjecture de Kontsevich relie la
catégorie des faisceaux cohérents sur une variété algébrique à la
catégorie de Fukaya d'une variété de symplectique : il s'agit du
phénomène de symétrie miroir. Je présenterai une nouvelle construction
de la catégorie de Fukaya enroulée d'un domaine de Liouville ainsi que
quelques avantages de cette construction.
Nous montrons que le foncteur de normalisation de la correspondance de Dold-Kan n'induit pas une équivalence de Quillen entre la catégorie de modèle des cogèbres simpliciales de Goerss et la catégorie de modèle des cogèbres différentielles graduées de Getzler-Goerss.
