Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Everything has been said about Stein fillings of lens spaces when they are endowed with their standard (tight) contact structure. Nevertheless, lens spaces support many more tight structures, that are all classified, but for which a complete list of their Stein fillings is still missing. I will present a series of methods and techniques which can be used to investigate the topology of these fillings, giving constraints, for example, on their Euler characteristic and fundamental group.

Oriented knots are said to be concordant if they cobound an embedded cylinder in the interval times the 3–sphere. This defines an equivalence relation under which the set of knots becomes an abelian group with the connected sum operation. The importance of this group lies in its strong connection with the study of 4-manifolds. Indeed, many questions pertaining to 4–manifolds with small topology (like the 4–sphere) can be addressed in terms of concordance. A powerful tool for studying the algebraic structure of this group comes from satellite operations or the process of tying a given knot P along another knot K to produce a third knot P(K). In the talk I will describe how to use SO(3) gauge theory to provide a general criterion sufficient for the image of a satellite operation to generate an infinite rank subgroup of the smooth concordance group. This is joint work with Matt Hedden.

To each coprime pair of natural numbers is associated a rational homology 4-ball B_{p,q}; these are of interest in algebraic geometry and in constructions of smooth 4-manifolds. Evans and Smith have completely determined which of these may be embedded symplectically in CP^2; the answer coincides with an algebraic geometric result of Hacking and Prokhorov, and is described in terms of solutions to the Markov diophantine equation.

Using double branched covers, we exhibit an infinite family of such balls which embed smoothly but not symplectically in CP^2. We also describe an obstruction using Donaldson’s diagonalisation which may be used to show that no two of our examples may be embedded disjointly.

Hamiltonian homeomorphisms are those homeomorphisms of a symplectic manifold which can be written as uniform limits of Hamiltonian diffeomorphisms. One difficulty in studying Hamiltonian homeomorphisms (particularly in dimensions greater than two) has been that we possess fewer tools for studying them. For example, (filtered) Floer homology, which has been a very effective tool for studying Hamiltonian diffeomorphisms, is not well-defined for homeomorphisms. We will show in this talk that using barcodes and persistence homology one can indirectly define (filtered) Floer homology for Hamiltonian homeomorphisms. This talk is based on joint projects with Buhovsky-Humiliére and Le Roux-Viterbo.

Dans cet exposé je vais rappeler notre travail en commun avec L. Ng et S. Sivek établissant une équivalence entre les représentations de l'algèbre de Chekanov d'un nœud toriques (2,m) et les faisceaux à micro-support sur celui-ci (quel que soit le rang). De ce calcul sort une identité généralisant l'identité de Sylvester sur les matrices à tous les polynômes continuant. Cela suggère possiblement que d'autres relations matricielles découlent de la correspondance (encore conjecturelle) dans des cas plus généraux.

Mirzakhani wrote two papers studying the asymptotic behaviour of the number of curves of a given type (simple or not) and with length at most $L$. In this talk I will explain a new independent proof of Mirzakhani's results. This is joint work with Viveka Erlandsson.

Soit GW(d,g) le nombre de courbes algébriques de degré d et genre g dans CP^2 passant par 3d-1+g points. La conjecture de Göttsche stipule en particulier que ces nombres sont asymptotiquement donnés par un polynôme en d une fois fixé le nombre de points doubles des courbes énumérées (ie on fixe le cogenre au lieu du genre). Cette dernière hypothèse n'est pas gratuite, car il est bien connu que les nombres GW(d,g) grandissent de manière exponentielle en d lorsque g est fixé. En géométrie tropicale, il existe une version quantique, ou raffinée, des invariants de Gromov-Witten. Les nombres GW(d,g) sont alors remplacés par des polynômes de Laurent G(d,g)(q). Bien que les nombres GW(d,g) croissent exponentiellement à g fixé, on observe une résurgence de la polynomialité à la Göttsche dans les coefficients de leur pendants raffinés. Dans le cas des courbes rationnelles, je donnerai aussi des résultats de polynomialité des coefficients d'invariants descendants tropicaux raffinés, et les relierai à la géométrie énumérative réelle. Il s'agit d'un travail en commun avec Andrés Jaramillo Puentes.

Les fibres de Milnor jouent un rôle crucial dans l’étude de la topologie d’une singularité de surface. Elles correspondent aux différents lissages possibles de cette singularité. Une description de cette fibre est connue dans certains cas particuliers, mais pas en général, même pour des singularités isolées. D’un autre côté, l’étude de son bord est un domaine de recherche actif depuis plusieurs dizaines d’années. Dans différents contextes, il est prouvé que ce bord est une variété graphée. (Mumford, 1961, pour les singularités isolées, Michel-Pichon, 2003, 2014, pour un lissage d’une surface réduite d’espace total lisse, Némethi-Szilard, 2012, sous les mêmes hypothèses, Bobadilla-Menegon Neto, 2014, pour une surface non réduite et un espace total avec singularité isolée). J’expliquerai comment la preuve constructive proposée par Némethi et Szilard peut être adaptée pour prouver, constructivement, le même résultat pour un lissage de surface réduite d’espace total quelconque. Ceci permet d’espérer l’obtention, à terme, d’une caractérisation des variétés lisses bordant une fibre de Milnor de lissage de surface complexe. De plus, je propose un algorithme simple pour le calcul du bord d’une fibre de Milnor, dans le cas d’une surface définie par une fonction Newton non-dégénérée sur un germe d’espace torique.

En géométrie énumérative, l'approche tropicale est parfois fort utile pour calculer effectivement certains invariants de part la nature combinatoire de cette dernière. De plus, sa richesse structurelle permet en fait de calculer bien plus que les invariants qui nous intéressent, et c'est par exemple le cas des polynômes de Block-Göttsche. Dès lors se pose la question de l'interprétation de tels invariants en géométrie classique et nombre de celles-ci restent encore conjecturales. Dans le cas des courbes planes, Mikhalkin propose d'interpréter le polynôme de Block-Göttsche comme un comptage de courbes réelles satisfaisant des conditions de tangence à l'infini en les discriminant suivant la valeur que prend l'aire de leur amibe. Nous allons tenter de poser les bases de ce que pourrait être un analogue en dimension supérieure.