Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

L'inégalité de Smith-Thom borne la somme des nombres de Betti de la partie réelle d'une variété algébrique réelle par la somme des nombres de Betti de sa partie complexe. Dans cet exposé, j'expliquerai une preuve d'une conjecture d'Itenberg qui raffine cette borne pour une classe particulière d'hypersurfaces réelles projectives en termes de ses nombres de Hodge.

Les hypersurfaces qu'on considère proviennent de la construction du patchwork de Viro, qui est une méthode combinatoire puissante de construction d'hypersurfaces algébrique réelles. Pour démontrer la conjecture d'Itenberg, nous développons un analogue réel de l'homologie tropicale et, à l'aide d'une suite spectrale, nous la comparons à l'homologie tropicale définie par Itenberg, Katzarkov, Mikhalkin et Zharkov. L'homologie tropicale redonne les nombres de Hodge d'une variété projective complexe, et sa version réelle détermine les nombres de Betti de sa partie réelle. Comprendre plus en détail la suite spectrale apparaissant dans la preuve est une des clefs pour contrôler la topologie de l'hypersurface réelle provenant d'un patchwork.

C'est un travail en commun avec Kristin Shaw.

Je présenterai un modèle probabiliste de sous-complexes d'un complexe simplicial donné et en étudierai la topologie attendue ainsi que son comportement après un grand nombre de subdivisions barycentriques. C'est un travail en commun avec Nermin Salepci. Il vient compléter mes travaux antérieurs avec Damien Gayet dans le domaine de la topologie aléatoire

On s'intéresse aux représentations modulaires des groupes symétriques. Plus précisément, on considère la famille des groupes de Grothendieck des FpSn-modules projectifs de type fini. On obtient ainsi un groupe gradué qu'on peut munir d'une structure d'anneau gradué en utilisant des foncteurs d'induction. On montre alors que cet anneau est un anneau de polynômes.

On montre que sur "presque toute" variété de contact de dimension trois, tous les champs de Reeb ont une entropie topologique positive. En particulier, ils possèdent tous (même dans le cas dégénéré) une infinité d'orbites périodiques. C'est un travail en commun avec Marcelo Alves et Ko Honda.

Je présenterai quelques résultat sur les diagrammes de nœuds et d'entrelacs obtenus comme intersection d'une courbe algébrique avec une sphère de rayon quelconque.

Soit C une courbe algébrique lisse, on considère l'entrelacs L(r) obtenu comme l'intersection de C avec le bord de B(r), où B(r) est la boule euclidienne de rayon r>0. De nombreux résultats sont connus lorsque r est suffisamment petit ou suffisamment grand. Que se passe-t-il pour les autres valeurs de r ? Nous étudions le cas intermédiaire via une projection de l'entrelacs et des propriétés de positivité de la tresse associée.

C'est un travail en commun avec Maciej Borodzik.

In real dimension two, the symplectic mapping class group of a surface agrees with its `classical' mapping class group, whose properties are well-understood. To what extend do these generalise to higher-dimensions? We consider specific pairs of symplectic manifolds (S, M), where S is a surface, together with collections of Lagrangian spheres in S and in M, say v1, ...,vk and V1, ...,Vk, that have analogous intersection patterns, in a sense that we will make precise. Our main theorem is that any relation between the Dehn twists in the Vi must also hold between Dehn twists in the vi. Time allowing, we will give some corollaries, such as embeddings of certain interesting groups into auto-equivalence groups of Fukaya categories.

L’objet de cet exposé est le type d’homotopie réel des espaces de configuration de variétés compactes simplement connexes, avec ou sans bord. Sous certaines conditions, nous donnons un modèle réel explicite de ces espaces de configuration et qui ne dépend que du type d’homotopie réel de la variété donnée. De plus, nous étudions l’action des opérades des petits disques sur les espaces de configuration, et nous démontrons que le modèle est compatible avec cet action. Dans le cas des variétés à bord, nous démontrons aussi que le modèle est compatible avec l’action des opérades Swiss-Cheese.

Autrement dit, comment plonger isométriquement une sphère unité dans une boule de rayon arbitrairement petite ? Ceci est impossible en classe C^2 car la courbure de Gauss fournit une obstruction. En revanche, un tel plongement existe en classe C^1. Ce résultat contre-intuitif date des années 50, il est dû à Nash et Kuiper. Nous expliquerons comment, avec la technique de l'intégration convexe de Gromov, on peut construire un tel plongement. Nous en présenterons des images.

Si P1,...,Pn, Q1,...,Qn sont des polytopes convexes à sommets dans le réseau Z^n des points entiers de R^n tels que Pi soit inclus dans Qi pour tout i=1,...,n, alors le volume mixte de (P1,...,Pn) est majoré par celui de (Q1,...,Qn). Dans un travail récent avec Ivan Soprunov (Cleveland University), nous caractérisons les paires de n-uplets de polytopes pour lesquelles cette inégalité est stricte. Le lien fondamental entre volume mixte et systèmes polynomiaux est le théorème de Bernstein-Kouchnirenko qui prédit que le nombre de solutions d'un système polynomial de polytopes de Newton P1,...,Pn est génériquement égal au volume mixte de ces polytopes. On utilise notre critère pour obtenir une notion de règle de Cramer pour les systèmes polynomiaux, qui généralise celle connue dans le cas linéaire.

En géométrie algébrique complexe, le théorème de Lefschetz (1,1) classifie les classes de cohomologie d'une variété complexe projective qui sont les classes de Chern des fibrés en droites. Je présenterai un analogue de ce théorème pour les espaces polyédraux en utilisant les concepts de la géométrie tropicale. Les classes de cohomologie tropicale qui proviennent des fibrés en droites tropicaux sont précisément les classes dans le noyau d'une application introduite par Mikhalkin et Zharkov. Pour une variété tropicale lisse de dimension n, nous nous servons d'une dualité de Poincaré pour décrire les cycles en homologie tropicale de degré (n-1, n-1) qui proviennent des cycles tropicaux. Ces cycles tropicaux sont des candidats de tropicalisation de cycles algébriques. Je présenterai des exemples et corollaires de ces énoncés.

Ceci est du travail en commun avec Philipp Jell et Johannes Rau