Given a closed symplectic manifold X, and a differentiable manifold L, can we embed L into X as a Lagrangian submanifold? This central question in Symplectic Geometry is far from being resolved. According to the Symplectic Field Theory approach (as proposed by Eliashberg, Givental and Hofer about 20 years ago) if L is embeddable to X then enumerative invariants of TL-L and X must be compatible. If L is a real torus then TL coincides with (C*)^n and its enumerative geometry is described by the tropical geometry in R^n. In this talk we'll look at some other examples of L when tropical geometry comes into play, including the famous "conifold transition" case of L=S^3 and its finite quotients. We'll also consider some cases when L is disconnected or singular.
Le nombre de racines réelles d'un polynôme de degré d à coefficients réels
dépend du choix du polynôme. Plus généralement, étant donné un fibré en
droites L au dessus d'une courbe définie sur les réels, le nombre de
zéros réels d'une section de L dépend du choix de la section. Dans
l'exposé, on s'intéressera aux sections réelles d'un fibré en droites au
dessus d'une courbe et on comptera les zéros réels d'une section choisie
au hasard.
Une célèbre conjecture de Kontsevich relie la
catégorie des faisceaux cohérents sur une variété algébrique à la
catégorie de Fukaya d'une variété de symplectique : il s'agit du
phénomène de symétrie miroir. Je présenterai une nouvelle construction
de la catégorie de Fukaya enroulée d'un domaine de Liouville ainsi que
quelques avantages de cette construction.
Nous montrons que le foncteur de normalisation de la correspondance de Dold-Kan n'induit pas une équivalence de Quillen entre la catégorie de modèle des cogèbres simpliciales de Goerss et la catégorie de modèle des cogèbres différentielles graduées de Getzler-Goerss.
Soit U la catégorie des modules instables sur l'algèbre de Steenrod modulo p. On note K(U) le groupe de Grothendieck de la catégorie des modules instables injectifs réduit de type fini. On peut montrer que la tensorisation par C de K(U) est une algèbre de polynômes.
Dans cette exposé, on définira un famille de générateurs polynomiaux en utilisant le lien entre K(U) et les représentations modulaires des groupes linéaires sur le corps fini à p éléments. Cette famille a la propriété d'être formée de vecteurs propres pour l'action sur K(U) du foncteur T de Lannes.
De plus, la simplicité de ces générateurs facilite les calculs et permet de répondre à certaines conjectures concernant les séries Poincaré des objets de U. Ceci est un travail en commun avec Nguyen Dang Ho Hai.
Chern-Schwarz-Macpherson (CSM) classes are one way to extend the notion of Chern classes of the tangent bundle to singular and non-complete algebraic varieties. I will present a combinatorial analogue of CSM classes for matroids, motivated by the geometric case of hyperplane arrangements. The CSM classes of matroids are polyhedral fans which satisfy a balancing condition, in other words they are Minkowski weights. One goal for defining these classes is to express matroid invariants using the language of algebraic geometry and in turn use geometric intuition to study the properties of these invariants. The first example is the shifted characteristic polynomial of a matroid, which for graphical matroids is related to the chromatic polynomial. CSM classes can be used to study more general objects beyond the world of matroids, known as tropical manifolds.
This is based on joint work with Lucia López de Medrano and Felipe Rincón.
Pour les singularités cuspidales de 3 variables, une construction similaire à celle expliquée à l'exposé précédent est possible. On peut généraliser la construction en terme de livre ouvert. Utilisant une operation sur les livres ouverts une série d'exemples intéressantes est construite sur S^4 x S^1 (l’exemple d'Atsuhide Mori). Nous discutons aussi de donner une fibration de Lefschetz feuilletée, proposée par F. Presas. Grâce à un théorème de Gompf, cela donne des structures symplectiques aux feuilles.
Le feuilletage de Lawson est le premier feuilletage de codimension 1 sur la sphère de dimension 5, qui est construit par une modification du livre ouvert de Milnor associé à une singularité simple elliptique. Il est possible de munir chaque feuille de structure symplectique qui varie continuement, mais pour cela il faut changer la structure symplectique de la page de livre ouvert de Milnor qui vient canoniquememnt de C^3. La raison pourquoi le changement est possible est expliquée.
In joint work with Daniel Mathews, we examined complements of standard Seifert surfaces of special alternating links and enumerated those tight contact structures on them whose dividing sets are isotopic to the link. The number turns out to be the leading coefficient of the Alexander polynomial. The proof is rather combinatorial in nature; for example, the Euler classes of the contact structures are identified with `hypertrees' in a certain hypergraph. Using earlier results with Hitoshi Murakami and Alexander Postnikov, this yields a connection between contact topology and the Homfly polynomial. We also found that the contact invariants of our structures form a basis for the sutured Floer homology of the manifold.
