La classification des types topologiques réalisés par les courbes algébriques réelles d'un degré fixé dans le plan projectif réel est un sujet classique dans lequel il y a eu beaucoup d'avancements depuis 1970. Dans cette exposé nous allons présenter une classification similaire dans une surface ambiante differente: la quadrique ellipsoide. On exposera le problème de faire une classification des types topologiques réalisés par des courbes algébrique réelles non-singulières de bi-degré fixé (d,d) dans cette surface (en particulier pour d=5), quels sont les types topologiques possibles et comment on peut construire des courbes algébrique réelles qui les réalisent. Finalement, par rapport a la construction, on présentera une version du théorème de Patchwork de Viro (T-construction) et on donnera des examples de constructions.
Un théorème de Chris Miller énonce que si R est une expansion o-minimale du
corps des nombres réels alors ou bien R est polynomialement bornée, ou bien la
fonction exponentielle est définissable dans R. Dans cet exposé on montrera que les
notions analogues dans le cas non-archimédien ont un comportement tout à fait différent :
les fonctions définissables dans des expansions "minimales" de Qp et de Cp
seront toujours polynomialement bornées. Une introduction à l'o-minimalité et aux
notions de minimalité respectives dans le cadre non-archimédien sera faite (et aucune
connaissance en théorie des modèles sera requise). Il s'agit d'un travail un commun
avec Françoise Delon.
L'inégalité de Smith-Thom borne la somme des nombres de Betti de la partie réelle d'une variété algébrique réelle par la somme des nombres de Betti de sa partie complexe.
Dans cet exposé, j'expliquerai une preuve d'une conjecture d'Itenberg qui raffine cette borne pour une classe particulière d'hypersurfaces réelles projectives en termes de ses nombres de Hodge.
Les hypersurfaces qu'on considère proviennent de la construction du patchwork de Viro, qui est une méthode combinatoire puissante de construction d'hypersurfaces algébrique réelles.
Pour démontrer la conjecture d'Itenberg, nous développons un analogue réel de l'homologie tropicale et, à l'aide d'une suite spectrale, nous la comparons à l'homologie tropicale définie par Itenberg, Katzarkov, Mikhalkin et Zharkov. L'homologie tropicale redonne les nombres de Hodge d'une variété projective complexe, et sa version réelle détermine les nombres de Betti de sa partie réelle. Comprendre plus en détail la suite spectrale apparaissant dans la preuve est une des clefs pour contrôler la topologie de l'hypersurface réelle provenant d'un patchwork.
Je présenterai un modèle probabiliste de sous-complexes d'un complexe
simplicial donné et en étudierai la topologie attendue ainsi que son comportement après un
grand nombre de subdivisions barycentriques. C'est un travail en commun avec Nermin Salepci.
Il vient compléter mes travaux antérieurs avec Damien Gayet dans le domaine de la topologie aléatoire
On s'intéresse aux représentations modulaires des groupes symétriques. Plus précisément, on considère la famille des groupes de Grothendieck des FpSn-modules projectifs de type fini. On obtient ainsi un groupe gradué qu'on peut munir d'une structure d'anneau gradué en utilisant des foncteurs d'induction. On montre alors que cet anneau est un anneau de polynômes.
On montre que sur "presque toute" variété de contact de dimension trois, tous les champs de Reeb ont une entropie topologique positive. En particulier, ils possèdent tous (même dans le cas dégénéré) une infinité d'orbites périodiques.
C'est un travail en commun avec Marcelo Alves et Ko Honda.
Je présenterai quelques résultat sur les diagrammes de nœuds et d'entrelacs obtenus comme intersection d'une courbe algébrique avec une sphère de rayon quelconque.
Soit C une courbe algébrique lisse, on considère l'entrelacs L(r) obtenu comme l'intersection de C avec le bord de B(r), où B(r) est la boule euclidienne de rayon r>0. De nombreux résultats sont connus lorsque r est suffisamment petit ou suffisamment grand. Que se passe-t-il pour les autres valeurs de r ? Nous étudions le cas intermédiaire via une projection de l'entrelacs et des propriétés de positivité de la tresse associée.
In real dimension two, the symplectic mapping class group of a surface agrees with its `classical' mapping class group, whose properties are well-understood. To what extend do these generalise to higher-dimensions? We consider specific pairs of symplectic manifolds (S, M), where S is a surface, together with collections of Lagrangian spheres in S and in M, say v1, ...,vk and V1, ...,Vk, that have analogous intersection patterns, in a sense that we will make precise. Our main theorem is that any relation between the Dehn twists in the Vi must also hold between Dehn twists in the vi. Time allowing, we will give some corollaries, such as embeddings of certain interesting groups into auto-equivalence groups of Fukaya categories.
L’objet de cet exposé est le type d’homotopie réel des espaces de configuration de variétés compactes simplement connexes, avec ou sans bord. Sous certaines conditions, nous donnons un modèle réel explicite de ces espaces de configuration et qui ne dépend que du type d’homotopie réel de la variété donnée. De plus, nous étudions l’action des opérades des petits disques sur les espaces de configuration, et nous démontrons que le modèle est compatible avec cet action. Dans le cas des variétés à bord, nous démontrons aussi que le modèle est compatible avec l’action des opérades Swiss-Cheese.
