Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

François Laudenbach et moi-même vous invitons à un groupe de lecture en topologie: de la "Conjecture de Mumford généralisée" prouvée par Madsen-Weiss, on lira la preuve "for geometrically-minded topologists" publiée par Eliashberg-Galatius-Mishachev

Y. Eliashberg, S. Galatius, N. Mishachev, "Madsen-Weiss for geometrically minded topologists", Geometry & Topology 15 (2011), 411–472;

gt-v15-n1-p13-p.pdf

les mercredis, 14h-16h 1ère séance le 8 mars en salle de séminaires.

L'objet de cet exposé est une formule reliant deux invariants d’entrelacs de nature différente, à savoir les invariants de Milnor, qui sont extraits du groupe fondamental du complémentaire, et le polynôme de HOMFLYPT, un invariant quantique. Après avoir rappelé les définitions nécessaires, nous verrons ainsi que les invariants de Milnor d’un entrelacs de la 3-sphère s’expriment comme une combinaison linéaire de polynômes de HOMFLYPT de noeuds obtenus par certaines opérations de somme en bande. Il s’agit d'un travail en commun avec A. Yasuhara.

Habiro a introduit la catégorie des « enchevêtrements dans les corps en anses », qui englobe à la fois les noeuds usuels dans S^3 et les groupes de difféotopie des corps en anses tridimensionnels. Nous rappellerons cette catégorie, avant d’expliquer comment l’intégrale de Kontsevich (originellement définie comme invariant de noeuds) s’y étend en un foncteur à valeurs dans une catégorie de nature purement combinatoire. Nous énoncerons une propriété d’universalité pour ce foncteur et, en guise de conclusion, nous préciserons son lien avec la TQFT issue de l’invariant de Le-Murakami-Ohtsuki. (Travail en collaboration avec Kazuo Habiro.)

Les objets noués (nœuds, entrelacs, tresses, enlacements de chemins...) admettent des représentations fidèles en termes de diagrammes planaires à mouvements de Reidemeister près. Dans la littérature on a considéré ces classes d’équivalences de diagrammes avec d’autres mouvements locaux additionnels; dans certains cas (e.g. le crossing change) la théorie devient peu intéressante, dans d'autres cas (e.g. le self crossing change) la théorie reste très riche et topologiquement significative. Dans ce séminaire nous allons introduire/rappeler des analogues en dimension 4 des nœuds et d’autres objets noués et on va considérer des représentations de ces objets comme des diagrammes planaires, qui étendent les diagrammes planaires classiques et qu'on appellera welded. On montrera des relations avec le cas classique, des résultats de classification pour ces objets à plusieurs types de mouvements locaux près, et comment certains mouvements locaux dans le cadre welded étendent naturellement d’autres (différents) mouvements locaux dans le cadre classique. Travail en collaboration avec B. Audoux, J-B. Meilhan et E. Wagner.

Il s’agit d’un projet avec W. Chacholski, A. Neeman et W. Pitsch dont l’origine se trouve dans les travaux de Spaltenstein sur la construction de résolutions de complexes non bornés et ceux de Christensen-Hovey sur la construction de structures modèles relatives. La difficulté d’une telle construction dans le cas projectif et celle encore plus grande de sa dualisation dans le cas injectif nous poussent à étudier cette question du point de vue des approximations de modèle. J’aimerais présenter ce concept, proposer un candidat de catégorie modèle pour approximer les complexes de chaînes non bornés, et montrer que sous un analogue relatif de l’axiome AB4*-n de Roos, la question est résolue positivement. Je mentionnerai également les limites de cette approche, quand l’axiome mentionné n’est pas satisfait.

• Attention, jour et heure inhabituels ! *

(joint with M. Anel, E. Finster, and A. Joyal) We present a generalization of the Blakers-Massey theorem for higher topoi. The main tool are "modalities", unique factorization systems whose left class is closed under homotopy base change. As an application we prove a Blakers-Massey type theorem for the Goodwillie tower of a homotopy functor.

Je vais rappeler brièvement l'existence des produits de Massey en topologie algébrique, puis le théorème de Dwyer qui ramène leur étude à celle de certaines extensions de groupes. Ensuite je vais énoncer une conjecture de Minac-Tan, qui affirme que pour un groupe de Galois absolu, tous les produits de Massey sont triviaux (en un certain sens). Je vais alors décrire un travail en commun avec Minac, Topaz et Wittenberg, qui montre que la conjecture est vraie pour les produits de 4 classes, en cohomologie modulo 2, pour les corps de nombres.