Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

We give a classification of open Klein topological conformal field theories in terms of Calabi-Yau A_\infty-categories endowed with an involution. Given an open Klein topological conformal field theory, there is a universal open-closed extension whose closed part is the involutive variant of the Hochschild chains of the open part.

Every classical or virtual knot is equivalent to the unknot via a sequence of extended Reidemeister moves and the so-called forbidden moves. The minimum number of forbidden moves necessary to unknot a given knot is a new invariant we call the forbidden number. We relate the forbidden number to several known invariants, and calculate bounds for some classes of virtual knots. This is joint work with Sandy Ganzell and Blake Mellor.

Le théorème du produit tensoriel de Steinberg est une pierre angulaire de la théorie des représentations de GL_n(k), pour k un corps de caractéristique positive.

Dans cet exposé, nous expliquerons l'utilisation des catégories de foncteurs pour étudier les représentations de GL_n(k). Nous donnerons une démonstration du théorème de Steinberg reposant sur l'utilisation des catégories de foncteurs, et nous décrirons quelques phénomènes nouveaux mis à jour par cette approche.

Note : L'exposé se placera à un niveau élémentaire et aucune connaissance spécifique de théorie des représentations n'est requise pour le comprendre.

L'invariant d'Alexander L2 est un invariant de nœuds introduit par Li et Zhang en 2006, que l'on peut voir comme une certaine torsion L2 sur un complexe de chaînes L2 associé à l'extérieur du nœud. Il peut aussi être construit depuis une présentation du groupe du nœud, à l'aide du calcul de Fox, similairement au polynôme d'Alexander. Dans mon exposé je présenterai cette construction après quelques rappels sur les invariants de nœuds et la théorie des invariants L2, puis je présenterai plusieurs propriétés de l'invariant d'Alexander L2, notamment le fait qu'il détecte le nœud trivial.

In this talk I will explain how Legendrian contact homology can be used to obtain positive lower bounds for the topological entropy of Reeb flows on contact 3-manifolds. As an application, we obtain many new examples of contact 3-manifolds on which every Reeb flow has positive topological entropy.

Attention : veuillez noter le jour inhabituel (mardi).

Soit S une hypersurface compacte lisse de R^n, et M une variété compacte Riemannienne de dimension n. J'expliquerai que si l'on prend une somme aléatoire de fonctions propres du laplacien sur M, avec valeurs propres plus petites que L, S apparaît en moyenne, quand L tend vers l'infini, un grand nombre de fois dans le lieu d'annulation de cette somme. C'est un travail en commun avec Jean-Yves Welschinger.

Attention : veuillez noter l'horaire inhabituel (13h30).

À tout poset, il est possible d'associer un complexe simplicial. L'homologie du poset est alors définie comme l'homologie de ce complexe. Nous expliquerons cette construction avant de la relier au polynôme des multichaînes dans le poset qui, évalué en un entier judicieux, permet de retrouver la caractéristique d'Euler associée au poset (et même plus). Nous exposerons ensuite l'une des applications de cette méthode : le calcul de l'action du groupe symétrique sur un poset combinatoire appelé le poset des hyperarbres.

L’homologie des foncteurs (i.e. l’algèbre homologique dans des catégories de foncteurs) sur une catégorie convenable permet de calculer l’homologie stable des groupes linéaires, des groupes orthogonaux ou des groupes symplectiques. Par contre, l’homologie stable des groupes d’automorphismes des groupes libres à coefficients tordus est peu connue. Selon les cas, on dispose de résultats d’annulation, de plusieurs calculs en bas degré obtenus par Satoh et de classes explicites construites par Kawazumi. L’homologie des foncteurs des groupes libres dans les groupes abéliens devrait permettre de mieux comprendre l’homologie stable des groupes d’automorphismes des groupes libres à coefficients tordus. Dans cet exposé, après avoir expliqué la motivation précédente à l’étude de cette homologie des foncteurs, je donnerai quelques résultats récents la concernant. D’une part, j’expliquerai que les groupes d’extensions entre foncteurs polynomiaux sur les groupes libres sont les mêmes dans la catégorie de tous les foncteurs et dans la sous-catégorie des foncteurs polynomiaux (résultat obtenu en collaboration avec Djament et Pirashvili) et d’autre part je donnerai le calcul explicite des groupes d’extensions entre les puissances tensorielles composées avec l’abélianisation.

La correspondance de Dold-Kan permet d'associer à tout complexe de chaînes un type d'homotopie. Les types d'homotopie ainsi obtenus sont exactement les produits d'espaces d'Eilenberg-Mac Lane. Ce fait reflète la différence fondamentale entre l'homologie et l'homotopie. Un complexe dirigé augmenté est un complexe de chaînes augmenté muni de « sous-monoïdes d'orientation ». Cette notion a été étudiée par Richard Steiner dans le but de construire des nouvelles catégories supérieures. L'exposé tournera autour du résultat suivant, obtenu en collaboration avec Georges Maltsiniotis : les complexes dirigés augmentés modélisent tous les types d'homotopie.

Comment se fait-il, se demande l'un de nous, qu'il "faille" le flot de Ricci pour prouver un énoncé purement algébrique ? Cela témoigne sans doute du talent de Stallings, un des fondateurs de la théorie géométrique des groupes. Je tenterai de présenter cette équivalence. Au passage, je raconterai les trois-petits-points du titre.