Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Le théorème de Hochschild-Kostant-Rosenberg classique identifie l'homologie de Hochschild d'une algèbre commutative lisse avec son algèbre des formes de de Rham algébriques. Connes a remarqué que l'on peut interpréter la différentielle de de Rham sur le complexe de Hochschild conduisant à la notion d'homologie cyclique vue comme une "géométrie non-commutative". Ces résultats donnent des moyens combinatoire de calculer l'homologie de Hochschild. Plus récemment, motivé par des problèmes de topologie et géométrie algébrique, Toën-Vezzosi ont démontré que l'homologie de Hochschild s'identifiait comme un espace de lacets en géométrie dérivée et l'homologie cyclique en terme d'action du cercle sur lui-même.

Le but de l'exposé est d'expliquer un théorème de type HKR pour des espaces Map(X,Y) de fonctions plus généraux et d'expliquer en particulier comment comprendre le théorème de Hochschild-Kostant-Rosenberg comme la combinaison d'un théorème de lissité et d'un théorème de formalité.

I'll define a new symplectic object called a pumpkin domain and I'll construct its Fukaya category. This simultaneously generalizes the wrapped Fukaya category of a Liouville domain and the Fukaya-Seidel category of a Lefschetz fibration. Pumpkin domains come with a natural geometric gluing operation ; at the level of Fukaya categories, it corresponds to a certain pushout. After describing this, I'll give some simple applications and a conjectural connection to Legendrian contact homology.

In this talk I explain why the restricted three body problem below and slightly above the first critical value admits a contact structure and how this is related to the question about existence of global surfaces of section.

Contact homology is a powerful invariant of contact manifolds introduced by Eliashberg--Givental--Hofer. The definition involves certain counts of pseudo-holomorphic curves, however these are usually only "virtual" counts since the moduli spaces of such curves are often not cut out transversally. I will discuss one way to construct these counts rigorously.

Dans cet exposé, je vais discuter une relation entre l'homologie et cohomologie de Hochschild, et la théorie de dualité de Koszul, qui apparaît dans mon papier. Plus précisément, le résultat principal qu'on va présenter établit une dualité entre le calcul de Tamarkin-Tsygan d'une algèbre dg augmentée qui possède une graduation d'Adams connexe et celui de son algèbre duale de Koszul. Un cas un peu différent a été prouvé par Y. Félix, J.-C. Thomas and L. Menichi, qui n'avaient considéré que la cohomologie de Hochschild. Pour démontrer le résultat principal on a utilisé une description de la cohomologie (resp. de l'homologie) de Hochschild en termes des torsions d'algèbres (resp. des torsions de modules sur ces algèbres tordues). A partir de celle-ci, on a aussi déduit que le cup-produit dans la cohomologie de Hochschild et le cap-produit entre cohomologie et homologie de Hochschild d'une algèbre de Koszul peuvent être calculés directement à partir de la structure de cogèbre du groupe Tor(k,k) (le résultat pour le cup-produit a été démontré par R.-O. Buchweitz, E. Green, N. Snashall et O. Solberg en employant d'autres méthodes).

Attention : séance exceptionnelle un lundi

Let X be a symplectic manifold, and let L be a Lagrangian in X. If a Hamiltonian diffeomorphism preserves L as a subset, what can be said about the induced map on the homology of L? In some cases, one can easily find a non-trivial automorphism on the homology of L. In other cases, the only possible map is the identity. There are works by M. L. Yau, S. Hu - F. Lalonde - R. Leclerq. I will discuss the case of "standard" product tori in a polydisc (the conclusion depends on the size) and the product of equators in a product of two-spheres.

Séance déplacée au lundi 28

In this talk, I will explain the following theorem : a Legendrian submanifold has a positive loop of legendrian isotopy when it is loose. Using h-principle technique, it means the existence problem here is a flexible phenomenon in contact topology. The main idea is to allow good singularities (wrinkles), then resolve them. First, I will give motivation and background, then I will discuss a test example: the case of sphere. Finally I will show the general case by h-principle.

La géométrie algébrique dérivée est une théorie récente dont le but est de pouvoir réaliser des opérations de nature homotopique dans un contexte algébrique. Dans l’exposé, on se concentrera sur un aspect bien précis, celui des intersections dérivées de cycles algébriques, à travers trois exemples :
— l’exemple d’une intersection de deux courbes, qui fournit une interprétation de la formule des Tor de Serre ;
— le cas l’auto-intersection de la diagonale d’un schéma algébrique lisse, qui encode l’isomorphisme de Hochschild-Kostant-Rosenberg ;
— plus généralement le cas de l’auto-intersection d’un sous-schéma localement intersection complète d’un schéma ambiant lisse.
Dans la dernière situation, on présentera des résultats nouveaux qui généralisent ceux d’Arinkin et Cāldāraru lorsque le sous-schéma peut être quantifié.

Given a smooth Riemannian manifold, several groups act on it - by isometries, by diffeomorphisms, by homeomorphisms or by homotopy equivalences. We shall discuss several classical results about what is known and see some interesting examples. Later on, we shall outline some observations about diffeomorphisms of product of (possibly exotic) spheres.