Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Travail en collaboration avec Andrew Clarke (IMPA) et Yuji Sano (Kumamoto University). Les métriques de Kähler à courbure scalaire constante (CSCK) ou extrémales peuvent être définies comme les points critiques de fonctionnelles de Mabuchi. D'après les travaux de Donaldson, on sait qu'une métrique de Kähler à courbure scalaire constante sans automorphisme est la limite d'une suite de métriques projectives dites équilibrées. Le formalisme des métriques \sigma-équilibrées de Sano généralise celui des métriques équilibrées dans le cadre de la recherche des métriques extrémales. On démontre que ce contexte, et les techniques développées par Donaldson, permettent de montrer que si $(X,L)$ est polarisée extrémale, alors la métrique extrémale atteint le minimum de la fonctionnelle de Mabuchi relative à l'action du champ extrémale. L'existence d'une borne inférieure pour cette fonctionnelle est aussi étendue aux petites déformations complexes préservant l'action. Les arguments employés ici sont élémentaires par rapport aux technologies développées par Mabuchi d'une part, et Chen et Tian d'autre part. On en discutera les différences, avantages et inconvéniants

Behrend-Fantechi puis Baranovsky-Ginsburg construisirent une structure de Gerstenhaber sur la cohomologie d'intersection de deux variétés coisotropes. Nous montrerons que cette construction se comprend fort bien à partir de la structure L-infinie que l'espace normal d'une sous-variété coisotrope est bien connue posséder. L'existence de quantifications de ces dernières, montrée par Cattaneo et Felder, joue un rôle surprenant dans cette construction.

English version: As shown by Behrend-Fantechi and Baranovsky-Ginsburg, the intersection cohomology of two coisotropic submanifolds admits a structure of Gerstenhaber algebra. We relate this construction to the L-infinity structure that the cotangent space of a coisotropic submanifold is known to be endowed with. In the process, the existence of quantizations of those is shown to play a role.

Joined work with Florian Schätz and Ping Xu, with the participation of Gregory Ginot and Mathieu Stiénon.

La thèse de Salim Rivière porte sur l'isomorphisme entre cohomologie de Chevalley-Eilenberg d'une algèbre de Lie et cohomologie de Hochschild de son algèbre enveloppante. Les deux sont isomorphes et l'isomorphisme est induit par l'antisymétrisation des cochaînes. Le travail de Salim a été de définir un morphisme de complexes explicit qui devient inverse à l'antisymétrisation au niveau de cohomologie. La dernière partie de la thèse établit un lien de ce morphisme avec l'intégration de cocycles d'algèbres de Lie en cocycles de groupes.

Homological representations of braid groups are defined as the action of homeomorphisms of a punctured disk on the homology of an abelian covering of its configuration space. These representations were extensively studied by Lawrence, Krammer and Bigelow. In this talk we show that specializations of the homological representations of braid groups are equivalent to the monodromy of the KZ equation with values in the space of null vectors in the tensor product of Verma modules when the parameters are generic. To prove this we use representations of the solutions of the KZ equation by hypergeometric integrals due to Schechtman, Varchenko and others. We describe the action of quantum groups on the space of homology with local coefficients and recover quantum symmetry in homological representations.

Suite à ces travaux en K-théorie, J.-L. Loday a introduit une version non-commutative des algèbres de Lie et de la cohomologie de Chevalley-Eilenberg : les algèbres de Leibniz et leur cohomologie. De la même façon que la cohomologie de Chevalley-Eilenberg est la version linéarisée de la cohomologie de groupe, J.-L. Loday a conjecturé l'existence et quelques propriétés d'une nouvelle théorie de cohomologie pour les groupes dont la version linéarisée est la cohomologie de Leibniz. Dans cette exposé, après avoir rappelé les liens entre racks, groupes, algèbres de Leibniz et algèbres de Lie, nous verrons que la cohomologie de rack, définie pour les groupes, satisfait certaines des propriétés attendues. En particulier nous verrons que la cohomologie de rack est munie d'une structure d'algèbre Zinbiel (et donc, a fortiori, d'algèbre commutative) induite par un scindement du cup product habituel.

H. Eynard has shown that any two taut foliations whose tangent distributions are homotopic as plane fields are also homotopic as foliations. We give examples of taut foliations that are not homotopic through taut foliations. Using similar methods we also show that the space of representations of the fundamental group of a hyperbolic surface to the group of smooth diffeomorphisms on the circle with fixed Euler class is in general not path connected. Time permitting, we shall also discuss the related question of which contact structures can be realised as perturbations of taut/ Reebless foliations.

Je montrerai la construction explicite d'une famille de difféomorphismes non-uniformément hyperboliques mais dans le bord des difféomorphismes uniformément hyperboliques et ayant une tangente cubique hétérocline. J'expliquerai la motivation de cet exemple, à savoir trouver un diffeo. ayant une transition de phase pour le potentiel $-\log J^u$. La première partie de l'exposé rappellera les notions nécessaires sur les feuilletages des difféo. hyperboliques : champs de cônes hyperboliques, transformation de graphe. Ensuite nous verrons comment adapter cette théorie au cas de la tangence cubique.