Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

J'expliquerai comment estimer les nombres de Betti moyens des lieux réels d'hypersurfaces réelles prises au hasard dans une grande puissance tensorielle d'un fibré ample réel hermitien sur une variété projective réelle lisse. Les estimées L2 de Hörmander jouent un rôle crucial dans ces estimations. C'est un travail en commun avec Damien Gayet.

We will discuss obstructions to and constructions of Lagrangian cobordisms between Legendrian submanifolds of the contact Euclidean space. In addition, we will introduce the spherical spinning construction and will construct infinitely many not pairwise Legendrian isotopic Legendrian S^1 x S^{i1} x ... x S^{ik} which have the same classical invariants.

We show that pseudo-holomorphic polygons in a Liouville-domain can be lifted to the symplectization of its contactization. In particular, Legendrian contact homology may equivalently be defined by counting either of these objects. We use this fact to prove an isomorphism between the linearized Legendrian contact homology induced by an exact Lagrangian filling and the singular homology of the filling, a result which was first conjectured by Seidel.

J'introduirai des sous-quotients fondamentaux obtenus à partir d'un multi-complexe de Koszul et j'en démontrerai une propriété d'annulation. Ensuite j'expliquerai les conséquences cohomologiques profondes de cette propriété, notamment dans le calcul de la cohomologie (généralisée) de produits finis de l'espace projectif infini réel.

La symplectisation d'une variété de contact $M$ est une variété symplectique $SM$ difféomorphe à $\R \times M$. Question : si $SM$ et $SM'$ sont symplectomorphes, $M$ et $M'$ sont-elles alors contactomorphes ?

Dans cet exposé, on verra que la réponse est non et on construira des contre-exemples en grande dimension à partir de $h$-cobordismes non triviaux et des propriétés de flexibilité de certains cobordismes symplectiques.

Plusieurs travaux récents utilisent la théorie microlocale des faisceaux de Kashiwara et Schapira pour obtenir des résultats de géométrie symplectique. Le lien entre les faisceaux sur une variété $M$ et la géométrie symplectique de son cotangent $T^M$ est donné par le microsupport. Le microsupport d'un faisceau est un sous-ensemble conique co-isotrope de $T^M$.

Nous verrons deux situations où on sait associer un faisceau à une sous-variété lagrangienne conique $L$ d'un cotangent: le cas où $L$ est le graphe d'une isotopie hamiltonienne et celui où $L$ provient d'une sous-variété exacte compacte (dans ce cas le faisceau peut être vu comme une généralisation des fonctions génératrices) Nous verrons comment en déduire des conséquences géométriques.

Un résultat classique de Bondal-Van den Bergh affirme que la catégorie dérivée des faisceaux quasi-cohérents d'un schéma quasi-compact quasi-séparé est engendrée par un générateur compact. Ceci implique la dg-affinité de ces schémas. Nous prouverons ici un résultat analogue pour les DQ-modules (ici DQ= Deformation Quantization).

Travail en collaboration avec Andrew Clarke (IMPA) et Yuji Sano (Kumamoto University). Les métriques de Kähler à courbure scalaire constante (CSCK) ou extrémales peuvent être définies comme les points critiques de fonctionnelles de Mabuchi. D'après les travaux de Donaldson, on sait qu'une métrique de Kähler à courbure scalaire constante sans automorphisme est la limite d'une suite de métriques projectives dites équilibrées. Le formalisme des métriques \sigma-équilibrées de Sano généralise celui des métriques équilibrées dans le cadre de la recherche des métriques extrémales. On démontre que ce contexte, et les techniques développées par Donaldson, permettent de montrer que si $(X,L)$ est polarisée extrémale, alors la métrique extrémale atteint le minimum de la fonctionnelle de Mabuchi relative à l'action du champ extrémale. L'existence d'une borne inférieure pour cette fonctionnelle est aussi étendue aux petites déformations complexes préservant l'action. Les arguments employés ici sont élémentaires par rapport aux technologies développées par Mabuchi d'une part, et Chen et Tian d'autre part. On en discutera les différences, avantages et inconvéniants

Behrend-Fantechi puis Baranovsky-Ginsburg construisirent une structure de Gerstenhaber sur la cohomologie d'intersection de deux variétés coisotropes. Nous montrerons que cette construction se comprend fort bien à partir de la structure L-infinie que l'espace normal d'une sous-variété coisotrope est bien connue posséder. L'existence de quantifications de ces dernières, montrée par Cattaneo et Felder, joue un rôle surprenant dans cette construction.

English version: As shown by Behrend-Fantechi and Baranovsky-Ginsburg, the intersection cohomology of two coisotropic submanifolds admits a structure of Gerstenhaber algebra. We relate this construction to the L-infinity structure that the cotangent space of a coisotropic submanifold is known to be endowed with. In the process, the existence of quantizations of those is shown to play a role.

Joined work with Florian Schätz and Ping Xu, with the participation of Gregory Ginot and Mathieu Stiénon.

La thèse de Salim Rivière porte sur l'isomorphisme entre cohomologie de Chevalley-Eilenberg d'une algèbre de Lie et cohomologie de Hochschild de son algèbre enveloppante. Les deux sont isomorphes et l'isomorphisme est induit par l'antisymétrisation des cochaînes. Le travail de Salim a été de définir un morphisme de complexes explicit qui devient inverse à l'antisymétrisation au niveau de cohomologie. La dernière partie de la thèse établit un lien de ce morphisme avec l'intégration de cocycles d'algèbres de Lie en cocycles de groupes.