Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

In my talk I will elaborate on a result of I. Hambleton and M. Kreck, which gives classification of topological 4-manifolds with finite odd order fundamental groups. In order to present the proof of this theorem I will describe the modified surgery theory invented by M. Kreck.  Modified surgery gives a very general method allowing to tackle problems of classification nature.

Si Y est une 3-variété topologique compacte, connexe, fermée et orientée, on peut lui associer son homologie de Heegaard Floer HF(Y) et son homologie de contact plongée ECH(Y); par un théorème de Colin, Ghiggini et Honda ces deux homologies sont isomorphes (comme groupes). D'un autre coté, si K est un noeud dans Y on peut aussi définir des homologies de Heegaard Floer HFK(K,Y) et de contact plongée ECK(K,Y) pour K. Conjecture: HFK(K,Y) est isomorphe à ECK(K,Y). Dans cet exposé on rappellera les definitions des homologies ci-dessus dans le cas où K est un noeud fibré et on donnera des indices de la véracité de la conjecture.

On définit une version S^1-équivariante de l'homologie symplectique via diverses approches. On montre que, pour des coefficients rationnels, l'homologie de contact linéarisée est isomorphe à la partie positive de l'homologie symplectique S^1-équivariante. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Alexandru Oancea.

This talk will introduce a new invariant of tangles derived from Khovanov homology. As application, this may be used to construct an invariant of strong inversions of knots in the three-sphere and, in turn, produces an object that is quite sensitive to non-amphicheirality. Surprisingly, this new invariant picks up information that is not detected by the Jones polynomial or, more generally, Khovanov homology.

Is it possible to find an embedded Lagrangian disk in \C^n - B^2n, so that the boundary is a Legendrian in S^{2n-1}? When n=2 the answer is no, but in all higher dimensions such disks exist in abundance. This follows from a more general existence theorem for Lagrangian embeddings with loose concave boundary; in this two-part talk we precisely state and prove this theorem. The proof has two main components: an action-balancing lemma for Lagrangian immersions, and a Lagrangian Whitney trick. We discuss the proof of both, in particular discussing how they both rely on the classification theorem for loose Legendrians. This project is joint work with Yakov Eliashberg.

Si on a une algèbre de Lie sur un corps K, son opérateur de Koszul est l'application linéaire envoyant une 2-forme symétrique invariante B sur la 3-forme alternée invariante J_B(x,y,z)=B(x,[y,z]). Par restriction et composition, cela définit un opérateur vers la cohomologie en degré 3 de l'algèbre de Lie, appelé opérateur de Koszul réduit; dans le cas semi-simple c'est un isomorphisme (Chevalley-Eilenberg, Koszul). L'opérateur de Koszul réduit joue un rôle important dans la description Neeb et Wagemann décrivant la 2-cohomologie des algèbres de courant (c'est-à-dire l'algèbre de Lie sur K obtenue par tensorisation avec une K-algèbre commutative). On donnera notamment des résultats d'annulation et de non-annulation de cet opérateur.

A categorical group is a monoidal category with associator, left-right unitor are identity. Thus under the tensor product, both object and morphism sets are groups. Categorical groups have an equivalent description in terms of "crossed-modules". We will discuss the representations of categorical groups on "certain categorical spaces" and some of the consequences. We will introduce the notion of semi-direct product of categories and show how this notion can be used to give a more general description of representations of categorical groups. This is a joint work with A. Lahiri, A. N. Sengupta.

Nous parlerons d'un travail joint avec Roman Golovko et Georgios Rizell où l'on démontre des restrictions fortes sur la topologie des cobordismes lagrangiens d'une variété legendrienne vers elle-même lorsque les variété legendriennes considérées ont des augmentations.

For commutative algebras there are three important homology theories, Harrison homology, Andr\'e-Quillen homology and Gamma-homology. In general these differ, unless one works with respect to a ground field of characteristic zero.

I will explain why the analogues of these homology theories agree in the category of pointed commutative monoids in symmetric sequences, aka pointed commutative shuffle algebras and I'll give examples of such algebras.

In addition, there is a natural model category structure on the category of pointed dg commutative shuffle algebras and this is Quillen equivalent to the model category of pointed simplicial commutative shuffle algebras.

Les "crochets doubles de Poisson" sur les algèbres sont des versions non-commutatives des crochets de Poisson qui ont été introduites par Van den Bergh. L'intersection de courbes sur une surface à bord définit un crochet double sur l'algèbre de son groupe fondamental, qui raffine le crochet de Goldman ; nous reconstruisons ainsi la structure quasi-Poisson d'Alekseev, Kosmann-Schwarzbach & Meinrenken sur la variété des représentations linéaires de ce groupe. En dimension n>2, et en utilisant les idées de la topologie des cordes de Chas & Sullivan, nous obtenons un crochet double de Gerstenhaber sur l'homologie de l'espace des lacets d'une n-variété à bord. (Travail en collaboration avec Vladimir Turaev.)