Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

Le théorème de Noether-Deuring classique montre que sous certaines conditions deux modules sont isomorphes si et seulement si ils le sont après élargissement des scalaires. Nous proposons un théorème analogue pour les catégories dérivées bornées des modules.

Après avoir défini la notion de produit de contact et montré que les graphes généralisés de contactomorphismes donnent lieu à des sous-variétés legendriennes de celui-ci, nous expliquerons comment définir l'homologie de contact legendrienne dans ce contexte. J'expliquerai le lien entre les générateurs de celle-ci est les points translatés des contactomorphismes (tels qu'étudiés par M. Sandon). Nous expliquerons comment des calculs dans le cas hypertendu permettent d'estimer le nombre de ces points.

Joint work with Peter Albers and Urs Fuchs. In 2000 Eliashberg-Polterovich introduced the natural notion of orderability of contact manifolds; that is, the (non)existence of positive loops of contactomorphisms. I will explain how one can study orderability questions using the machinery of Rabinowitz Floer homology. We establish a link between orderable and hypertight contact manifolds, and show that the Weinstein Conjecture holds (i.e. there exists a closed Reeb orbit) whenever there exists a positive (not necessarily contractible) loop of contactomorphisms.

$dU=TdS-PdV$. Cette formule évoque à la fois le premier principe de la thermodynamique et une forme différentielle "de contact", dans l'espace de dimension 5. Par ailleurs, se cache derrière des notions telles que l'"enthalpie" où l'"énergie libre" l'idée de la transformation de Legendre... Dans cet exposé élémentaire, je vais tenter de clarifier ce faisceau de relations, en partant d'observations qui remontent, au moins, à René Thom et V.I. Arnold. Ce sera un prétexte pour passer en revue différentes incarnations et applications de cette "transformation de Legendre".

Quasi-morphisms on a group are real-valued functions which satisfy the homomorphism equation "up to a bounded error". They are known to be a helpful tool in the study of the algebraic structure of non-Abelian groups. After giving a brief introduction to the subject, I will discuss constructions relating: a) knots, braid groups, mapping class groups, b) interesting metrics on groups of area-preserving diffeomorphisms of surfaces, c) quasi-morphisms on groups of all such diffeomorphisms.

No previous knowledge of the subject will be assumed.

The symmetries of the standard contact structure of a sphere generate families of contact structures. There exists a Serre fibration relating the space of contact structures and the group of contactomorphisms. The homotopy exact sequence for this fibration is studied and the non--triviality of certain elements in the homotopy groups of the contactomorphism group is concluded. Part of the argument applies to $3$--Sasakian manifolds due to their quaternionic symmetries. We comment on an alternative approach to the detection of non--triviality through the definition of a series of indices generalizing the Maslov index in the symplectic case.

A well known result of Giroux tells us that isotopy classes of contact structures on a closed three manifold are in one to one correspondence with stabilization classes of open book decompositions of the manifold. We will introduce a stabilization-invariant property of open books which corresponds to tightness of the corresponding contact structure. We will mention applications to the classification of contact 3-folds, and also to the question of whether tightness is preserved under Legendrian surgery.

This talk will serve to cover some of the background material for my talk on Friday. We will define symplectic cohomology, wrapped Fukaya category and the closed-open string maps that relates the two.

En dimension trois, l'homologie de Heegaard Floer d'une variété de contact peut être calculée à partir d'une page et de la monodromie d'un livre ouvert porteur. Dans un travail en commun avec Ko Honda, on étend la définition de l'homologie de Heegaard Floer aux variétés de contact de dimension quelconque. On conjecture que l'homologie de Khovanov d'un entrelacs L dans la sphère de dimension trois s'exprime comme l'homologie de Heegaard Floer d'une variété de contact de dimension cinq associée à L.

Non-displaceability of certain Lagrangian submanfolds is a rigidity phenomenon in symplectic geometry. There are well-known sufficient conditions for non-displaceability. One is non-vanishing of Lagrangian intersection Floer cohomology. The other is (super)heaviness due to Entov and Polterovich. (Note that the latter is defined for any subsets, which are not necessarily Lagrangian submanifolds.) I will explain the relation between these conditions and present some examples based on joint work with Fukaya, Oh and Ohta. If time allows, I will discuss another argument for superheaviness of certain subsets.