This talk will serve to cover some of the background material for my talk on Friday. We will define symplectic cohomology, wrapped Fukaya category and the closed-open string maps that relates the two.
En dimension trois, l'homologie de Heegaard Floer d'une variété de contact peut être calculée à partir d'une page et de la monodromie d'un livre ouvert porteur. Dans un travail en commun avec Ko Honda, on étend la définition de l'homologie de Heegaard Floer aux variétés de contact de dimension quelconque. On conjecture que l'homologie de Khovanov d'un entrelacs L dans la sphère de dimension trois s'exprime comme l'homologie de Heegaard Floer d'une variété de contact de dimension cinq associée à L.
Non-displaceability of certain Lagrangian submanfolds is a rigidity phenomenon in symplectic geometry. There are well-known sufficient conditions for non-displaceability. One is non-vanishing of Lagrangian intersection Floer cohomology. The other is (super)heaviness due to Entov and Polterovich. (Note that the latter is defined for any subsets, which are not necessarily Lagrangian submanifolds.) I will explain the relation between these conditions and present some examples based on joint work with Fukaya, Oh and Ohta. If time allows, I will discuss another argument for superheaviness of certain subsets.
J'ai travaillé à Berkeley sur des modules croisés de racks avec Alissa Crans (Loyola Marymount University, LA).
La notion de rack généralise celle de groupe en axiomatisant les propriétés de la conjugaison. Un module croisé de racks est la donnée d'un rack R, d'un rack module X et d'un morphisme équivariant f: X -> R. Fenn et Rourke ont défini un rack, appelé le rack fondamental, associé à un entrelacs L \subset Q.
Le complémentaire du fibré normal en disques de la sous-variété L est appelé Q0. Le rack fondamental raffine l'invariant de Whitehead pi2(Q,Q0) -> pi1(Q_0), qui est lui-même un module croisé de groupes. En fait, c'est ce module croisé qui a incité Whitehead à introduire les modules croisés de groupes.
Nous montrons dans notre travail avec Alissa qu'on peut associer un module croisé de racks fondamentaux à une situation où un revêtement est muni d'entrelacs compatibles.
On décrit la topologie de l'entrelacs d'un germe de surface complexe à singularités non isolées et on montre que cet entrelacs permet de décrire le graphe de plombage d'une bonne résolution minimale. On peut donner des exemples explicites.
Suite aux travaux de Kadeishvili, on sait que la double construction cobar d'un ensemble simplicial X est munie d'une structure de G-algèbre homotopique. On s'intéressera à l'extension de cette structure en une structure de BV-algèbre homotopique donnée par l'opérateur de Connes. On établira un critère à cette extension en terme de structure de G-coalgèbre homotopique sur les chaines de X.
En application, on obtiendra une réponse positive lorsque l'ensemble simplicial considéré est une double suspension sur un anneau commutatif.
En outre, lorsque l'anneau de base est celui des nombres rationnels, cette extension sera obtenue pour tout ensemble simplicial (2-réduit) par "symétrisation" de la bialgèbre qu'est la (première) construction cobar de X.
Symplectic homology is a very useful tool in symplectic topology, but it can be hard to compute explicitly. We will review the definition of this invariant and some of its features. Then, we describe a procedure for computing symplectic homology in terms of certain Gromov-Witten invariants. This method is applicable to a class of manifolds that are obtained by removing, from a closed symplectic manifold, a symplectic hypersurface of codimension 2. This is joint work with Samuel Lisi.
Dans cet exposé, nous définirons un complexe de Floer d'intersection lagrangienne associé à deux cobordismes lagrangiens entre variétés legendriennes. Nous montrerons ensuite que les groupes d'homologie associés font partie d'une suite exacte longue dont les autres termes sont les groupes d'homologie de contact legendriennes bilinéarisées des extrémités. Parmi les applications nous déduirons des obstructions à l'existence de concordances lagrangiennes et nous donnerons des restrictions sur l'homologie des cobordismes lagrangiens. Ce travail est une collaboration avec Paolo Ghiggini.
