Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

In recent years, low dimensional topologists have become interested in the study of "generic" smooth maps to surfaces. The approach is similar to Morse theory, only with two dimensional target. In this talk, I will discuss a specific problem in the 4-dimensional context which is analogous to the (uniqueness of) cancellation of critical points of Morse functions. I will also indicate applications to certain pictorial descritpions of 4-manifolds in terms of curve configurations on surfaces. This is joint work with Kenta Hayano.

Nous construisons une famille de relations entre les classes de cohomologie dites tautologiques de l'espace des modules Mbar_{g,n} des courbes stables de genre g avec n points marqués. Cette famille contient toutes les relations connues à ce jour et on conjecture qu'elle est complète et optimale. La construction utilise la classe 3-spin de Witten et la classification des théories cohomologiques des champs de Givental-Teleman.

We will survey some of the history of the three-body problem, and then discuss how contact geometry can be used to get some new insights. In particular, we will describe how finite energy foliations can be used to find global surfaces of section. We use these global surfaces of section to display some interesting dynamics.

If we have are two commuting symplectomorphisms of a symplectic manifold, each one of them induces an automorphism of Floer cohomology of the other one. I will show that the supertraces of these two automorphisms are equal, developing a suggestion by Paul Seidel. As a particular case, I will explain that if a symplectomorphism f commutes with a symplectic involution, the dimension of HF(f) is bounded below by a topological quantity: the Lefschetz number of the restriction of f to the fixed locus of the involution. I will then use this bound to prove that Dehn twists in most projective hypersurfaces have infinite order in the symplectic mapping class group, though sometimes they have finite order in the smooth mapping class group.

On commencera par un rappel sur les structures auto-distributives (quandles, racks etc.), leurs homologies et leurs applications aux théories des nœuds et des tresses. Ensuite on présentera une théorie homologique des opérateurs de Yang-Baxter, où le flot d’idées va changer de sens : c’est la théorie des tresses qui va donner des méthodes et des inspirations pour une étude algébrique. La 3ème partie de l’exposé fermera la boucle : on munira diverses structures algébriques (quandle, algèbre associative, algèbre de Lie, bigèbre etc.) d'opérateurs de Yang-Baxter, de telle sorte que la théorie homologique associée contienne les homologies usuelles des structures en question. Comme application, on obtient une explication conceptuelle des parallèles entre les théories homologiques des structures auto-distributives et associatives, mis en évidence par J.Przytycki.

La torsion de Frobenius dans la catégorie P des foncteurs polynomiaux stricts induit les monomorphismes entre les groupes d’extensions : Ext (F, G) → Ext (F^(1),G^(1)). Comme la catégorie P est une sous-catégorie pleine de la catégorie U des modules instables, ceci amène à étudier les morphismes Ext(M, N) → Ext(ΦM, ΦN). La recherche sur la résolution injective minimale du module F(1) a donc pour but de comprendre le cas particulier des morphismes Ext (Φ^n(F(1)), Φ^n(F (1))) → Ext(Φ^n+1(F (1)), Φ^n+1(F (1))) . Dans cet exposé, on donne de l’information partielle sur la partie nilpotente de la résolution injective minimale de F (1) qui confirme l’injectivité des morphismes des groupes d’extensions induits par la torsion de Frobenius dans plusieurs cas.

We are interested in studying the lower central and derived series of the braid group (resp. pure braid group) of the torus, Bn (T) (resp. Pn (T)), or of the Klein bottle, Bn (K) (resp. Pn (K)). For the braid groups of surfaces, these series have been studied in the case of the disc, sphere and the projective plane. Further, the lower central series of Bn (T) was studied by P. Bellingeri, S. Gervais et J. Guaschi where the authors show that Bn (T) is residually nilpotent if and only if n ≤ 2, and Pn (T) is residually nilpotent for all n. For K we have the same result, that Bn (K) is residually nilpotent if and only if n ≤ 2. As in the case of the torus, we conjecture that Pn (K) is residually nilpotent for all n, unfortunately, we have not been able to prove this conjecture, but we have been able to show a slightly weaker property, that Pn (K) is residually soluble for all n. We also show that Bn (T) and Bn (K) are residually soluble if and only if n ≤ 4.

We show that the Hamiltonian isotopy class of the symplectic Dehn twist depends on the parametrisation used in the construction. Moreover, this result is used to construct non-trivial symplectomorphisms of T^(S^n x S^1) having compact support, as well as non-standard symplectic structures on T^(S^n x S^1) coinciding with the standard structure outside of a compact set. (joint with Jonathan Evans)

Motivés par la conjecture d'Atiyah-Floer, Manolescu et Woodward ont défini un invariant homologique HSI(Y) associé à une 3-variété fermée orientée Y, appelé "homologie instanton-symplectique". Afin d'étudier l'effet d'une chirurgie entière le long d'un noeud K, je définirai des invariants similaires HSI(Y,c) associés à Y munie d'une classe d'homologie c dans H1(Y,Z/2Z), tels que HSI(Y,0) = HSI(Y), puis je donnerai une formule de Künneth pour la somme connexe, ainsi que trois suites exactes reliant les invariants de Y, Y{n} (K) et Y_{n+1} (K). Travail en cours.

Le but de l'exposé sera d'expliquer comment on peut construire le groupe fondamental d'une variété symplectique à l'aide d'objets issus de la théorie de Floer. A titre d'application, cette construction permet d'obtenir de nouvelles contraintes, de nature purement homotopique, sur le nombre de certaines orbites périodiques d'isotopies hamiltoniennes.