Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

L'invariant d'Alexander L2 est un invariant de nœuds introduit par Li et Zhang en 2006, que l'on peut voir comme une certaine torsion L2 sur un complexe de chaînes L2 associé à l'extérieur du nœud. Il peut aussi être construit depuis une présentation du groupe du nœud, à l'aide du calcul de Fox, similairement au polynôme d'Alexander. Dans mon exposé je présenterai cette construction après quelques rappels sur les invariants de nœuds et la théorie des invariants L2, puis je présenterai plusieurs propriétés de l'invariant d'Alexander L2, notamment le fait qu'il détecte le nœud trivial.

In this talk I will explain how Legendrian contact homology can be used to obtain positive lower bounds for the topological entropy of Reeb flows on contact 3-manifolds. As an application, we obtain many new examples of contact 3-manifolds on which every Reeb flow has positive topological entropy.

Attention : veuillez noter le jour inhabituel (mardi).

Soit S une hypersurface compacte lisse de R^n, et M une variété compacte Riemannienne de dimension n. J'expliquerai que si l'on prend une somme aléatoire de fonctions propres du laplacien sur M, avec valeurs propres plus petites que L, S apparaît en moyenne, quand L tend vers l'infini, un grand nombre de fois dans le lieu d'annulation de cette somme. C'est un travail en commun avec Jean-Yves Welschinger.

Attention : veuillez noter l'horaire inhabituel (13h30).

À tout poset, il est possible d'associer un complexe simplicial. L'homologie du poset est alors définie comme l'homologie de ce complexe. Nous expliquerons cette construction avant de la relier au polynôme des multichaînes dans le poset qui, évalué en un entier judicieux, permet de retrouver la caractéristique d'Euler associée au poset (et même plus). Nous exposerons ensuite l'une des applications de cette méthode : le calcul de l'action du groupe symétrique sur un poset combinatoire appelé le poset des hyperarbres.

L’homologie des foncteurs (i.e. l’algèbre homologique dans des catégories de foncteurs) sur une catégorie convenable permet de calculer l’homologie stable des groupes linéaires, des groupes orthogonaux ou des groupes symplectiques. Par contre, l’homologie stable des groupes d’automorphismes des groupes libres à coefficients tordus est peu connue. Selon les cas, on dispose de résultats d’annulation, de plusieurs calculs en bas degré obtenus par Satoh et de classes explicites construites par Kawazumi. L’homologie des foncteurs des groupes libres dans les groupes abéliens devrait permettre de mieux comprendre l’homologie stable des groupes d’automorphismes des groupes libres à coefficients tordus. Dans cet exposé, après avoir expliqué la motivation précédente à l’étude de cette homologie des foncteurs, je donnerai quelques résultats récents la concernant. D’une part, j’expliquerai que les groupes d’extensions entre foncteurs polynomiaux sur les groupes libres sont les mêmes dans la catégorie de tous les foncteurs et dans la sous-catégorie des foncteurs polynomiaux (résultat obtenu en collaboration avec Djament et Pirashvili) et d’autre part je donnerai le calcul explicite des groupes d’extensions entre les puissances tensorielles composées avec l’abélianisation.

La correspondance de Dold-Kan permet d'associer à tout complexe de chaînes un type d'homotopie. Les types d'homotopie ainsi obtenus sont exactement les produits d'espaces d'Eilenberg-Mac Lane. Ce fait reflète la différence fondamentale entre l'homologie et l'homotopie. Un complexe dirigé augmenté est un complexe de chaînes augmenté muni de « sous-monoïdes d'orientation ». Cette notion a été étudiée par Richard Steiner dans le but de construire des nouvelles catégories supérieures. L'exposé tournera autour du résultat suivant, obtenu en collaboration avec Georges Maltsiniotis : les complexes dirigés augmentés modélisent tous les types d'homotopie.

Comment se fait-il, se demande l'un de nous, qu'il "faille" le flot de Ricci pour prouver un énoncé purement algébrique ? Cela témoigne sans doute du talent de Stallings, un des fondateurs de la théorie géométrique des groupes. Je tenterai de présenter cette équivalence. Au passage, je raconterai les trois-petits-points du titre.

L'homologie d'intersection telle qu'introduite par Goresky et MacPherson permet de généraliser la dualité de Poincaré aux pseudovariétés. Cette généralisation est valable sur un corps, son extension à l'homologie d'intersection à coefficients entiers est plus délicate. Le but de cet exposé est de proposer une extension de la dualité de Poincaré pour l'homologie d'intersection à coefficients dans un anneau commutatif. Cette généralisation passe par l'introduction d'une nouvelle théorie cohomologique pour les espaces singuliers et par la construction de cup et cap produits au niveau chaînes et cochaînes d'intersection.

A classical theorem of McDuff and Segal states that the sequence of unordered configuration spaces Cn(M) associated to a connected, open manifold M satisfies a phenomenon called homological stability. This means that in each fixed degree q, the sequence of homology groups Hq(C_n(M)) is eventually constant. On the other hand, it is well-known that this fails for closed manifolds -- although some conditional results are known if one takes homology with coefficients in a more general ring than the integers.

In this talk, I will explain some recent joint work with Federico Cantero, in which we extend the previously known results in this situation. A key idea in our proof is to introduce so-called "replication maps" between configuration spaces, and show that these induce isomorphisms on homology in a range of degrees under certain conditions.

One corollary of our results is to recover a "homological periodicity" theorem of Nagpal -- if we take homology with field coefficients, then for each fixed q the sequence Hq(Cn(M)) is eventually periodic in n -- and obtain a much more explicit estimate for the period. Another corollary is that for odd-dimensional manifolds M, the two sequences C{2n}(M) and C{2n+1}(M) are (independently) homologically stable, even for integral coefficients.

Il y a maintenant une trentaine d'années, Jones changeait la face de la topologie de la basse dimension en introduisant un nouvel invariant des noeuds, basé sur des considérations purement algébriques. La structure importante dans son contexte était une algèbre de Hecke, objet originaire de la théorie des représentations des groupes algébriques réductifs et de la théorie des groupes de réflexions. Dans un travail récent avec E. Wagner (Dijon) nous exhibons une extension centrale de cet objet et montrons le résultat surprenant que les arguments de Jones s'étendent à cette nouvelle structure et permettent de définir un invariant numérique des noeuds que l'on ne sait pour l'instant pas relier aux invariants classiques.

Attention : veuillez prendre note de la salle inhabituelle de l'exposé (Éole).