Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

On exprimera un coefficient du polynôme d'Alexander comme un nombre algébrique de configurations de graphes, pour un noeud homologiquement trivial dans une sphère d'homologie rationnelle de dimension 3, et ondiscutera de généralisations de cet exemple.

Nous prouvons que le groupe fondamental d'un splicing de deux non-triviaux dans S^3 possède des représentations irréductibles dans SU(2). En utilisant des résultats de Boileau-Rubinstein-Wang, cela implique que le groupe fondamental de toute 3-sphère d'homologie différente de la 3-sphère possède des représentations irréductibles dans SL(2,C).

Ce résultat utilise la théorie de jauge d'instantons (ou de Donaldson). Notre résultat nouveau essentiel est le suivant: Toute isotopie de la variété de représentations SU(2) d'un tore, si elle préserve le volume, peut-être C^0-approximé par des applications qui découlent géométriquement par des perturbations holonomiques de l'équation de platitude dans un tore épaissi.

The homology groups of a manifold give a lower bound on the number of handles in a handle decomposition (or even on the cells of a CW decomposition). We use Casson-Gordon signatures to improve on this bound for rational homology 4-balls bounding a given rational homology 3-sphere. In turn, this gives information about slice and ribbon discs for knots in the 3-sphere. This is joint work with Paolo Aceto and Ana Lecuona.

c'est une conjecture d'Arnol'd au sujet des singularités de la projection sur la sphère S^2 d'une courbe Legendrienne dans le projectivisé du cotangent de S^2. Elle dit qu'un déformation Hamiltonienne générique de la fibre au-dessus d'un point de S^2 a au moins trois cusps. On en expliquera une preuve qui utilise la théorie microlocale des faisceaux de Kashiwara et Schapira, après quelques rappels sur les faisceaux.

c'est une conjecture d'Arnol'd au sujet des singularités de la projection sur la sphère S^2 d'une courbe Legendrienne dans le projectivisé du cotangent de S^2. Elle dit qu'un déformation Hamiltonienne générique de la fibre au-dessus d'un point de S^2 a au moins trois cusps. On en expliquera une preuve qui utilise la théorie microlocale des faisceaux de Kashiwara et Schapira, après quelques rappels sur les faisceaux.

c'est une conjecture d'Arnol'd au sujet des singularités de la projection sur la sphère S^2 d'une courbe Legendrienne dans le projectivisé du cotangent de S^2. Elle dit qu'un déformation Hamiltonienne générique de la fibre au-dessus d'un point de S^2 a au moins trois cusps. On en expliquera une preuve qui utilise la théorie microlocale des faisceaux de Kashiwara et Schapira, après quelques rappels sur les faisceaux.

En général, pour un espace topologique quelconque la dualité de Poincaré n'existe pas, Poincaré le savait et a donné un contre exemple à son théorème de dualité : la suspension du tore. Si l'on souhaite restaurer la dualité de Poincaré (à coefficients rationnels) pour des espaces dits singuliers, par exemple les variétés algébriques singulières, on a deux méthodes : - une méthode "algébrique" : la (co)homologie d'intersection, - une méthode "topologique" : les espaces d'intersection.

On se concentrera sur la deuxième méthode. Étant donnée une pseudovariété stratifiée à singularités isolées, on peut lui associer une famille d'espaces topologiques indexées sur un nombre fini d'entiers : la famille de ses espaces d'intersections. La cohomologie réduite rationnelle de cette famille vérifie alors une "dualité de Poincaré généralisée". La première partie de l'exposé sera consacrée à l'introduction des différentes notions nécessaires ainsi qu'à la définition des espaces d'intersection. Dans la seconde partie on verra comment dans certains cas on peut considérer la cohomologie rationnelle dans son intégralité et non plus la réduite en construisant des espaces à dualité de Poincaré rationnelle. Enfin, si le temps le permet on discutera des possibles généralisations des résultats présentés.

In this talk we show two theorems on stabilization of (achiral) Lefschetz fibrations under fiber summing with copies of a `universal' Lefschetz fibration. In particular the first of our stabilization theorems is a generalization of the theorem of Auroux. For proofs of these theorems, we employ a certain labeled finite graph, called a chart, in a closed oriented surface for describing the monodromy of a(n achiral) Lefschetz fibration over the surface. Applying charts and their moves with respect to Wajnryb's presentation of mapping class groups, we generalize a signature formula for Lefschetz fibrations over the 2-sphere obtained by Endo and Nagami to that for Lefschetz fibrations over arbitrary closed oriented surface. This formula is crucial for the proof of the stabilization theorems. This is a joint work with I. Hasegawa, S. Kamada, and K. Tanaka.

We dene the singular Hochschild cohomology for an associative algebra, which is a generalization of Hochshcild cohomolgy motivated from the investigation on singularities of algebraic varieties. In this talk, we construct a Gerstenhaber algebra structure in the singular Hochschild cohomology and provide a prop interpretation for this construction. Then we will describe the BV algebra structure in the case of symmetric algebras. We will also talk about the singular version of Deligne conjecture, which is related to the higher algebraic structures (such as B1-algebra). If time allows, we will give one example on how to compute the singular Hochschild cohomology.

Grâce aux travaux de P. Biran sur les polarisations, on peut construire au-dessus d’une lagrangienne monotone de CP^n un fibré en cercles qui est une lagrangienne monotone de C^{n+1}. Cette dernière est en particulier déplaçable, et les travaux de M. Damian sur l’homologie de Floer relevée permettent d’extraire, sur ce fibré, des contraintes topologiques. À l’aide de la technique « d’allongement du cou », on peut ensuite relier l’homologie de Floer relevée de la lagrangienne de départ à celle du fibré en cercles, ce qui permet de rapatrier ainsi les contraintes topologiques sur la première lagrangienne.