Séminaire de topologie, géométrie et algèbre (archives)

We dene the singular Hochschild cohomology for an associative algebra, which is a generalization of Hochshcild cohomolgy motivated from the investigation on singularities of algebraic varieties. In this talk, we construct a Gerstenhaber algebra structure in the singular Hochschild cohomology and provide a prop interpretation for this construction. Then we will describe the BV algebra structure in the case of symmetric algebras. We will also talk about the singular version of Deligne conjecture, which is related to the higher algebraic structures (such as B1-algebra). If time allows, we will give one example on how to compute the singular Hochschild cohomology.

Grâce aux travaux de P. Biran sur les polarisations, on peut construire au-dessus d’une lagrangienne monotone de CP^n un fibré en cercles qui est une lagrangienne monotone de C^{n+1}. Cette dernière est en particulier déplaçable, et les travaux de M. Damian sur l’homologie de Floer relevée permettent d’extraire, sur ce fibré, des contraintes topologiques. À l’aide de la technique « d’allongement du cou », on peut ensuite relier l’homologie de Floer relevée de la lagrangienne de départ à celle du fibré en cercles, ce qui permet de rapatrier ainsi les contraintes topologiques sur la première lagrangienne.

Les groupes d’homologie instanton-symplectique sont des invariants associés à des 3-variétés, définis par Manolescu et Woodward, qui constituent des analogues symplectiques de l’homologie des instantons. Je montrerai que ces groupes sont naturels : en tant que groupes abéliens Z/8Z-relativement gradués, ils ne dépendent que de la 3-variété et du choix d'un point base.

J’expliquerai ensuite comment définir des applications associées à des 4-cobordismes munis de chemins reliant les points bases, et donnerai quelques unes de leurs propriétés.

Le problème de classifier des objets (espaces, représentations, faisceaux...) à moins d'isomorphisme est la plus part du temps intractable, et le mieux qu'on puisse faire est de se contenter de relations d'équivalence beaucoup plus faibles que l'isomorphisme. Depuis les années 90's, dans plusieurs domaines des mathématiques des solutions ont été trouvées ayant la forme d'une classification des sous-catégories épaisses d'une catégorie triangulée ; grosso-modo, il s'agit donc de classifier les objets d'intérêt "à opérations homologiques près". Les premiers résultats concernent les spectres finis en topologie (par Devinatz-Hopkins-Smith), les complexes parfaits sur un anneau commutatif ou sur un schéma en géométrie algébrique (Hopkins-Neeman-Thomason), et les representations d'un groupe fini en théorie de la représentation modulaire (Benson-Carlson-Rickard). D'autres résultats similaires ont été prouvés ensuite, et des théories ont été bâties pour unifier les méthodes (notamment par Balmer, Hovey-Palmieri-Strickland et Benson-Iyengar-Krause), mais à chaque fois les preuves restent difficiles.

Après avoir expliqué ce cercle d'idées, je présenterai des traveaux en commun avec Don Stanley montrant comme, dans certains cas, on peut obtenir de telles classifications par des méthodes purement formelles et donc sans beaucoup d'effort. Ce résultat abstrait s'applique par exemple à la catégorie dérivée de dg-algèbres et spectres en anneaux commutatifs don't la cohomologie (resp. l'homotopie) est suffisamment régulière.

En 2007, Fan, Jarvis et Ruan ont construit un analogue de la théorie de Gromov-Witten (GW) des hypersurfaces dans les espaces projectifs à poids. Cette nouvelle théorie est attachée à une singularité polynomiale quasi-homogène et est appelée théorie de Fan-Jarvis-Ruan-Witten (FJRW). Elle s'incorpore dans une vision globale de Witten, considérant les théories GW et FJRW comme deux quotients géométriques d'un même modèle.

Je vais d'abord faire ressortir cette idée sous l'éclairage de la symétrie miroir. Je présenterai ensuite la théorie FJRW et le problème géométrique qu'elle illustre. En particuler, je mettrai en avant une propriété géométrique très importante appelée concavité. Pour le moment, cette condition est nécessaire à l'obtention de résultats concrets sur la théorie GW des hypersurfaces. Mais les choses ont récemment changé du côté FJRW et je décrirai ma méthode basée sur la cohomologie de Koszul pour surmonter cette difficulté. Une conséquence remarquable est un théorème de symétrie miroir sans concavité et qui peut se relever à la K-théorie.

En 2007, Fan, Jarvis et Ruan ont construit un analogue de la théorie de Gromov-Witten (GW) des hypersurfaces dans les espaces projectifs à poids. Cette nouvelle théorie est attachée à une singularité polynomiale quasi-homogène et est appelée théorie de Fan-Jarvis-Ruan-Witten (FJRW). Elle s'incorpore dans une vision globale de Witten, considérant les théories GW et FJRW comme deux quotients géométriques d'un même modèle.

Je vais d'abord faire ressortir cette idée sous l'éclairage de la symétrie miroir. Je présenterai ensuite la théorie FJRW et le problème géométrique qu'elle illustre. En particuler, je mettrai en avant une propriété géométrique très importante appelée concavité. Pour le moment, cette condition est nécessaire à l'obtention de résultats concrets sur la théorie GW des hypersurfaces. Mais les choses ont récemment changé du côté FJRW et je décrirai ma méthode basée sur la cohomologie de Koszul pour surmonter cette difficulté. Une conséquence remarquable est un théorème de symétrie miroir sans concavité et qui peut se relever à la K-théorie

Notre cadre est celui des nœuds legendriens dans l'espace $J^1(\R,\R)=\R \times T^*\R$ muni de sa structure de contact standard. Certains parmi ces nœuds peuvent être obtenus à partir de graphes de fonctions définies sur $\R \times \R^k$ pour un certain $k \in \N$, comme contour de fonctions génératrices. Notre exposé se restreint à cette classe d'objets et considère les cobordismes legendriens contours de fonctions génératrices les reliant. Nous verrons rapidement l'existence de certaines contraintes, et nous nous attèlerons à des constructions explicites de tels cobordismes."

Dans ce cours on présentera une série de résultats obtenus ces dernières années par M. Banagl, G. Friedman, G. Laures, J. McClure et par l'orateur en collaboration avec M. Saralegui et D. Tanré. Ces résultats portent sur les structures multiplicatives de la cohomologie d'intersection ainsi que sur de possibles fondations homotopiques pour cette dernière.

cours 1: Homologie d'intersection des espaces stratifiés L'homologie d'intersection introduite par Goresky et MacPherson est une théorie homologique définie pour les espaces stratifiés qui vérifie des propriétés d'invariance topologique et restaure la dualité de Poincaré dans un cadre d'espaces singuliers. On présentera dans ce premier exposé les propriétés de base de l'homologie d'intersection (invariance topologique, dualité de Poincaré). On en donnera une construction de l'homologie d'intersection à l'aide de simplexes singuliers filtrés.

cours 2: Cohomologie d'intersection On expliquera comment à partir du concept de simplexe singulier filtré, en utilisant un analogue simplicial de de la notion d'éclatement des sous-variétés, on peut construire des cochaines d'intersection. Ces cochaines d'intersection que l'on appelle cochaines de Thom-Whitney calculent la cohomologie d'intersection et portent une structure multiplicative aussi riche que les cochaines singulières usuelles. Ces structures permettent de répondre à une série de problèmes posés par Goresky et McPherson.

cours 3: Dualité de Poincaré en homologie d'intersection On abordera le problème de la dualité de Poincaré entre homologie et cohomologie d'intersection. En particulier, on montrera l'existence d'un cap produit entre cochaines de Thom-Whitney et chaines d'intersection singulières. Enfin, on expliquera comment la dualité de Verdier apporte un éclairage intéressant sur les différentes cohomologies qui apparaissent en cohomologie d'intersection.

Dans ce cours on présentera une série de résultats obtenus ces dernières années par M. Banagl, G. Friedman, G. Laures, J. McClure et par l'orateur en collaboration avec M. Saralegui et D. Tanré. Ces résultats portent sur les structures multiplicatives de la cohomologie d'intersection ainsi que sur de possibles fondations homotopiques pour cette dernière.

cours 1: Homologie d'intersection des espaces stratifiés L'homologie d'intersection introduite par Goresky et MacPherson est une théorie homologique définie pour les espaces stratifiés qui vérifie des propriétés d'invariance topologique et restaure la dualité de Poincaré dans un cadre d'espaces singuliers. On présentera dans ce premier exposé les propriétés de base de l'homologie d'intersection (invariance topologique, dualité de Poincaré). On en donnera une construction de l'homologie d'intersection à l'aide de simplexes singuliers filtrés.

cours 2: Cohomologie d'intersection On expliquera comment à partir du concept de simplexe singulier filtré, en utilisant un analogue simplicial de de la notion d'éclatement des sous-variétés, on peut construire des cochaines d'intersection. Ces cochaines d'intersection que l'on appelle cochaines de Thom-Whitney calculent la cohomologie d'intersection et portent une structure multiplicative aussi riche que les cochaines singulières usuelles. Ces structures permettent de répondre à une série de problèmes posés par Goresky et McPherson.

cours 3: Dualité de Poincaré en homologie d'intersection On abordera le problème de la dualité de Poincaré entre homologie et cohomologie d'intersection. En particulier, on montrera l'existence d'un cap produit entre cochaines de Thom-Whitney et chaines d'intersection singulières. Enfin, on expliquera comment la dualité de Verdier apporte un éclairage intéressant sur les différentes cohomologies qui apparaissent en cohomologie d'intersection.

Dans ce cours on présentera une série de résultats obtenus ces dernières années par M. Banagl, G. Friedman, G. Laures, J. McClure et par l'orateur en collaboration avec M. Saralegui et D. Tanré. Ces résultats portent sur les structures multiplicatives de la cohomologie d'intersection ainsi que sur de possibles fondations homotopiques pour cette dernière.

cours 1: Homologie d'intersection des espaces stratifiés L'homologie d'intersection introduite par Goresky et MacPherson est une théorie homologique définie pour les espaces stratifiés qui vérifie des propriétés d'invariance topologique et restaure la dualité de Poincaré dans un cadre d'espaces singuliers. On présentera dans ce premier exposé les propriétés de base de l'homologie d'intersection (invariance topologique, dualité de Poincaré). On en donnera une construction de l'homologie d'intersection à l'aide de simplexes singuliers filtrés.

cours 2: Cohomologie d'intersection On expliquera comment à partir du concept de simplexe singulier filtré, en utilisant un analogue simplicial de de la notion d'éclatement des sous-variétés, on peut construire des cochaines d'intersection. Ces cochaines d'intersection que l'on appelle cochaines de Thom-Whitney calculent la cohomologie d'intersection et portent une structure multiplicative aussi riche que les cochaines singulières usuelles. Ces structures permettent de répondre à une série de problèmes posés par Goresky et McPherson.

cours 3: Dualité de Poincaré en homologie d'intersection On abordera le problème de la dualité de Poincaré entre homologie et cohomologie d'intersection. En particulier, on montrera l'existence d'un cap produit entre cochaines de Thom-Whitney et chaines d'intersection singulières. Enfin, on expliquera comment la dualité de Verdier apporte un éclairage intéressant sur les différentes cohomologies qui apparaissent en cohomologie d'intersection.